|
Вернуться на страницу <Методические разработки>
 Архив разработки (43 Кб, Mathcad-документ)
Уравнения химических реакций, в которых вещества реагенты А и В превращаются в продукты реакции D и E через промежуточные продукты X и Y имеют следующий вид [1]:
 .
Предположив, что: 1) концентрация веществ А и В постоянна во времени и однородна по пространству; 2) продукты D и E либо химически инертны, либо немедленно удаляются из реагирующего объема; 3) реакции являются экзотермическими, что позволяет пренебречь влиянием обратных процессов, можно записать следующую систему уравнений, описывающих изменение во времени концентрации промежуточных продуктов X и Y:
 , (1)
 , (2)
где  – константы скоростей реакций,  – коэффициенты диффузии продуктов X и Y.
Для дальнейшего численного решения системы дифференциальных уравнений (СДУ) (1),(2), оказывается удобным записать уравнения (1), (2) в безразмерном виде. При измерении: времени в единицах  ; длины в единицах l (l – характерный размер реагирующего объема); концентрации X и Y в единицах  ; А в единицах  ; В в единицах  ; в единицах  ; СДУ примет следующий вид:
 , (3)
 . (4)
Отметим, что СДУ (3), (4) имеет единственное тривиальное решение, соответствующее однородному стационарному состоянию, в котором все производные равны нулю. Этому состоянию отвечаю равновесные значения  .
Граничные условия выбираем из условия "отсутствия потоков" на границе, которое выполняется при равенстве на границе поверхности реагирующего объема нулю нормальных производных от X и Y. Таким образом, СДУ (3), (4) состоит из двух уравнений первого порядка параболического типа. Для ее решения будем использовать метод продольно-поперечной прогонки [2].
1. Задание начальных значений коэффициентов А и B,  , , числа узлов координатной сетки  , шага интегрирования по времени  :
      
2. Задание начальных концентраций реагентов  ,  в предположении, что отклонение от равновесных концентраций, обусловлено белым шумом:
3. Построение распределения начальных концентраций реагентов X и Y:
 
4. Решение СДУ (3), (4) методом продольно-поперечной прогонки
4.1. Вычисление вспомогательных констант:
4.2. Вычисление коэффициентов, необходимых для обращения трехдиагональных матриц:
4.3. Создание функции, вычисляющей изменение концентраций на одном шаге по времени:
5. Вычисление 750 последовательных значений концентрации реагентов X и Y:
6. Вычисление зависимостей концентраций реагентов
7. Построение зависимостей X(t), Y(t):
 
8. Создание анимационного клипа (View ? Animate ? Выделить приведенную ниже строку и графики в прямоугольную рамку ? В поле "То" ввести число кадров клипа ? Перед началом создания анимационного клипа, анимации необходимо проверить режим сжатия, нажав кнопку "Options" и установив в поле "Программа сжатия" значение "Полные кадры (без сжатия)" ? кнопка "Animate")
 
1. Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 1992.
2. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: МИФИ, 1994.
Вернуться на страницу <Методические разработки>
|
