Вернуться на страницу <Методические разработки>
Архив разработки (56 Кб, Mathcad-документ)

Приведено решение задачи об описании продольных колебательной системы, состоящей из N частиц произвольной массы, связанных пружинками произвольной жесткости

• Введение.
• Постановка задачи.
• Анализ параметров колебаний системы в пакете Mathcad
• Литература.

Введение

Модели, представляющие собой линейные цепочки (рис. 1), состоящие из конечного или бесконечного числа связанных осцилляторов, оказались весьма эффективными и в настоящее время используются в различных областях физики: физике твердого тела, физике сплошных сред, химической физике, радиофизике и др. (Например, в [1] для описания системы трех связанных электрических колебательных контуров использована модель, представляющая собой систему шариков с массами m1, m2, m3, cвязанных между собой пружинками одинаковой жесткости k.) Используя модели линейных цепочек, оказывается возможным естественным образом осуществить переход к волновым процессам и ввести такие понятия как длина волны, групповая скорость, фазовая скорость, дисперсия и др.

Рис. 1

Отмеченные обстоятельства определяют целесообразность рассмотрения данных моделей в соответствующих курсах физики. Однако необходимо отметить два важных обстоятельства. Во-первых, аналитические решения уравнений движения длинных линейных цепочек (N>3) могут быть получены только для относительно небольшого числа случаев [2]:

1) k0=k1=...=kN-1, m0=m1=...=mN-1;

2) k0=k2=k4=..., k1=k3=k5=..., m0=m1=..=mN-1;

3) k0=k1=...kN-1, m0=m2=m4=..., m1=m3=m5=...;

4) ki=k№kN, i=0,1,..N-1, m0=m1=..=mN-1;

5) ki=k, i=0,1,..N, mi=m№mN-1, i=0,1,..N-2.

Во-вторых, большинство этих решений оказываются весьма громоздкими, и для их последующего анализа приходится использовать ПК.

В статье описана программа, созданная в пакет Mathcad, для решения уравнений движения линейных цепочек, совершающих продольные колебания, с произвольными параметрами (массами частиц и коэффициентами жесткости пружин), и проведения последующего численного анализа полученных решений. Использование данной программы в учебном процессе позволит, с нашей точки зрения, перераспределить время между математической (нахождение решения) и физической (анализ полученных результатов) частями рассматриваемой задачи, в пользу последней.

Постановка задачи

Запишем уравнения движения для каждой массы колебательной системы, представленной на рис. 1:

                (1)

Для удобства дальнейшего решения запишем уравнение (1), вводя обозначение  в следующем виде

                     (2)

Следуя общему подходу к решению рассматриваемой задачи, изложенному в [3], ищем решение системы дифференциальных уравнений (2) в виде:

                                     (3)

Подставив (3) в систему (2), сгруппировав члены, пропорциональные Ai, и записав систему в матричном виде, получим:

                             (4)

где

B трехдиагональная матрица, элементы которой вычисляются по следующим правилам:

                (5)

Необходимым и достаточным условием существования решения системы уравнений (4) является равенство нулю определителя матрицы B

               (6)

Уравнение (6), называемое характеристическим уравнением, является уравнением степени N-1 относительно w². Оно имеет в общем случае N-1 различных вещественных положительных корней w_a², a = 1,2,..N-1. Каждому собственному числу w_a² соответствует собственный вектор Xa, являющийся решением уравнения

   (7)

где W трехдиагональная матрица, элементы которой вычисляются по следующим правилам:

   (8)

Частоту w_a, a = 1,2,..N-1 называют частотой нормальных колебаний, а вектор r_a - вектором нормального колебания, отвечающего a-ой частоте. Вектор нормального колебания r_a меняется во времени по закону

     (9)

Общее решение системы дифференциальных уравнений (2) x(t), есть суперпозиция всех векторов нормальных колебаний r_a:

     (10)

где C_a, j_a произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Скорость движения масс, можно определить, продифференцировав (10) по времени,

(11)

Для решения задачи Коши системы дифференциальных уравнений (2) необходимо задать значения координат x(0) и x'(0) каждого тела системы в начальный момент времени и решить систему уравнений

      (12)

относительно неизвестных C_a, j_a.

Запишем (12) в матричном виде

(13),

где

(14)

(15)

 (16)

(17)

Z нулевая матрица, размерности N-1ґN -1.

Система уравнений (13) оказывается нелинейной, однако, блочная структура матрицы, позволяет найти решение данной системы не прибегая к численным методам. Для этого, сначала решив две линейные системы уравнений

(18)

(19)

найдем векторы С1, С2 затем координаты вектора С:

(20)

и, затем значения начальных фаз каждого нормального колебания

(21)

рис. 2 К выбору правильного значения угла

Отметим, что функция arctan на интервале [0;2] является двузначной (рис. 2), поэтому для выбора правильных значений данной функции необходимо контролировать знаки числителя и знаменателя дроби в выражении (20). Как очевидно из рис. 2, правильное значение угла выбирается по следующим правилам:

       (22)

Предваряя описание решения задачи об описании колебаний цепочки связанных осцилляторов, приведем алгоритм ее решения:

1. Задание числа тел, образующих цепочку N.

2. Задание масс тел m_i, i=0,1,.., N-1.

3. Задание коэффициентов жесткости пружины k_i, i=0,1,.., N-1. (Отметим, что для описания движения цепочки со свободным концом достаточно положить k₀ =0 или k_N =0)

4. Вычисление элементов матрицы W в соответстии с (8).

5. Нахождение собственных чисел матрицы W - w_a².

6. Нахождение собственных векторов X_a, соответствующих набору собственных частот w_a.

7. Задание начальных условий x(0), x'(0).

8. Решение систем линейных уравнений (18), (19), относительно векторов С1 и С2, соответственно.

9. Вычисление координат вектора С в соответствии с (20).

10. Вычисление значений начальных фаз нормальных колебаний j_i в соответствии с (21).

11. Определение законов движения тел, образующих колебательную систему в соответствии с (10) и (11).

12. Анализ полученных законов движения.

В начало

Вернуться на страницу <Методические разработки>