|
 Вопрос. Как вычислить предел функции в точке?
Ответ. Материал об этом можно найти в разделе Internet-класс по высшей математике, подраздел Математический анализ, занятие 3. О том, как вычислять пределы в среде пакета Mathcad, можно прочитать в Mathcad-справочнике по высшей математике.
Вопрос. Есть ли в Mathcad функции интегрирования жестких систем дифференциальных уравнений?
Ответ. Да, есть. О таких функциях можно прочитать в Mathcad-справочнике по высшей математике, пример применения находится в разделе Internet-класс по высшей математике, подраздел Дифференциальные уравнения, занятие 15.
Вопрос. Как вычислить обратную матрицу?
Ответ. Вычисление обратной матрицы в Mathcad описано в разделе Internet-класс по высшей математике, подраздел Линейная алгебра, занятие 1, в Matlab - в Справочнике по Matlab.
Вопрос. Как привести линейное дифференциальное уравнение в частных производных к каноническому виду?
Ответ. Уравнения математической физики пока на Exponenta.ru не рассматриваются. Интересующая Вас задача - простейшая задача классификации уравнений, если речь идет об уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. Ее решение описано в л ю б о м учебнике по уравнениям математической физике или по уравнениям с частными производными. Вот фрагмент такого текста:
____________________________________
Рассмотрим уравнение
Запишем для него характеристическое уравнение:  . Обозначим  .
Уравнения гиперболического типа
При  , уравнение относится к гиперболическому типу, уравнение характеристик распадается на два уравнения:
 и  .
Если  и  — общие интегралы этих уравнений, то замена
приводит исходное уравнение к каноническому виду
Если затем выполнить замену
то уравнение будет иметь другой канонический вид:
Уравнения параболического типа
При  , уравнение относится к параболическому типу, уравнение характеристик имеет вид  .
Если  — общий интеграл этого уравнения, то замена
где  — любая гладкая функция такая, что якобиан  отличен от нуля, приводит исходное уравнение к каноническому виду
Уравнения эллиптического типа
При  , уравнение относится к эллиптическому типу, уравнение характеристик распадается на два уравнения:
 и  .
Если  — общий интеграл одного из этих уравнений, то замена
приводит исходное уравнение к каноническому виду
 .
ПРИМЕР
Приведем к каноническому виду уравнение 
Запишем для него характеристическое уравнение:
 или, что то же самое
Обозначим  .
Поскольку  , уравнение относится к гиперболическому типу, уравнение характеристик распадается на два уравнения:
 и  , т.е.
 и  .
Если  и  — общие интегралы этих уравнений.
Выполним замену
Вычислим частнык производные функции u(x,y)
и подставим в исходное уравнение. После приведения подобных имеем:
 
Если теперь выполнить замену
 
то уравнение будет иметь другой канонический вид:
 
Вопрос. Может ли Mathcad выводить не только ответ, но и решение?
Ответ. Mathcad не выводит решений. Если Вас интересуют системы, объясняющие ход решения задачи, можете посетить заседание семинара "Компьютеры в математическом образовании инженеров".
Вопрос. Подскажите, как считать сумму ряда в Mathcad.
Ответ. О суммировании рядов Mathcad достаточно подробно написано в книге А.И.Плис, Н.А.Сливина, Mathcad 2000. Математический практикум. Изд-во Финансы и статистика, 2000 г., глава 3, разд 13-15. Ниже приведены некоторые примеры из этой книги. Также Вы можете скачать другие примеры (16Кб, Mathcad 2000).
______________________________________
Гармонический ряд  
 Ряд расходится
  
 
Ряд Лебница  
 Ряд сходится
 
Вопрос. Дано уравнение эллипса в общем виде. Найти объем тела образованного вращением эллипса вокруг оси OY.
Ответ. Ваша задача - стандартная задача математического анализа. Такие задачи рассматриваются практически в любом учебнике анализа. Ниже приведено решение.
_____________________________________
Эллипс:
 , a>0, b>0.
Вращением вокруг оси 0y получаем эллипсоид
Объем эллипсоида вычисляем переходом к цилиндрическим координатам:
Решение в пакете Mathcad
Можно иначе, используя определенный интеграл. Раздел математического анализа — Приложения определенного интеграла. Объем тела вращения.
Уравнение половины эллипса: 
Вращаем эту линию вокруг оси 0y:
Решение в пакете Mathcad
Вопрос. Можно ли в математическом пакете вычислить неопределенный интеграл?
Ответ. Конечно, да. Например, о том, как это сделать в пакете Mathcad, можно прочитать в Mathcad-справочнике по высшей математике и в разделе Internet-класс по высшей математике, подраздел Математический анализ, занятие 15, а в пакете Mathematica - в разделе Mathematica, 10 ноутбуков В.П.Дьяконова.
Вопрос. Посоветуйте, как решить задачи по теме "Произведение векторов" в Mathcad.
Задача 1. Дано [a,b] = 2p-3q c = -p+2q, где |р|=1, |q|=2, угол между p и q равен 60 градусам. Вычислить (a,b,c).
Задача 2. Вычислить (a,b,c), если a=i+3j, b=j+3k, c=i+3k.
Ответ. Для того, чтобы решить эти задачи, Mathcad не нужен. В первой задаче нужно просто воспользоваться определением и свойствами смешанного и скалярного произведения, а во второй - записать сомножители в координатной форме и найти в координатной же форме смешанное произведение. Эти задачи разобраны практически во всех учебниках по векторной алгебре.Но тем не менее, посылаем Вам решение этих задач в Mathcad в присоединенном файле.
Решение в пакете Mathcad
Вопрос. Помогите найти первообразную для функции f(x)=exp(-x^2/2).
Ответ. Общеизвестно, что exp(-x^2/2) интегрируема на всей числовой оси, но ее первообразная не выражается через элементарные функции. Об этой функции написано в любом учебнике анализа. Тем не менее, посылаем Вам Mathcad'овский файл, в которм видно как Вы сами могли бы легко получить ответ на свой вопрос.
Решение в пакете Mathcad
Вопрос. Подскажите, пожалуйста, где можно найти материал об исследовании фазового портрета системы ОДУ.
Ответ. Советуем скачать пакет ОДУ и в нем исследовать фазовый портрет. Там это делается очень просто и есть примеры исследования фазовых портретов.
Вопрос. Буду благодарен за информацию о том, каким образом в Mathcad можно работать с трёх- (и более) мерными массивами. Нужно выполнить обычные алгебраические операции.
Ответ. Посмотрите в Help: Index-arrays-defining nested arrays. Там есть пример многомерного массива (элементы вектора - матрицы). Посылаем Вам фрагмент документа с некоторыми вычислениями. Пример построен на основе информации из Help.
Решение в пакете Mathcad
Вопрос. Как в пакете Mathcad находить условные экстремумы функций многих переменных?
Ответ. Условные и безусловные экстремумы в Mathcad можно находить, используя встроенные функции minimize и maximize. Материал по этим функциям достаточно большой. Приведу только основу.
Эти функции реализуют один из методов поиска, который можно выбрать правой кнопкой мыши при щелчке по имени фукции (по умолчанию используется метод сопряженных градиентов). В обычном варианте, без использования оператора символьного вывода, перед функциями minimize и maximize следует задать начальные приближения. При наличии условий (поиске условных экстремумов) после ввода начальных приближений вводится ключевое слово given.
Задачи подобного класса имеют множество вариантов. В качестве условий могут выступать равенства, неравенства, системы уравнений в скалярном, векторном и матричном виде. Между словом given и именем функции допускаются только "жирные" знаки равенства (Ctrl + =).
В файле extr ( Mathcad 2001 Pro) представлены простые примеры определения безусловного и условного экстремумов функции двух переменных. Результат формируется в виде двумерного вектора, элементы которого составляют значения х и у, соответствующие порядку перечисления в аргументах функции maximize. Обратите внимание, что знак равенства в условии – не обычный, а оператор отношения (так называемый "жирный" знак равенства), вызываемый клавишами CTRL + =.
Другие примеры можно посмотреть по адресу http://www.exponenta.ru/soft/mathcad/ivanovsky/model/model.asp.
Вопрос. Как в Mathcad решать дифференциальные уравнения в символьном виде с помощью преобразования Лапласа?
Ответ. Для понимания того, что изложено ниже, надо знать преобразование Лапласа и основы теории линейных динамических систем (теории регулирования, например).
Вам известно понятие передаточной функции W(p)? Это отношение изображения по Лапласу у(р) – выхода динамического звена, которое описывается дифференциальным уравнением, к изображению по Лапласу u(p) – входного сигнала при нулевых начальных условиях. Таким образом, y(p) = W(p)*u(p). Эта запись при дробно-рациональной передаточной функции соответствует линейному дифференциальному уравнению (ДУ), порядок которого равен порядку полинома ее знаменателя. В другом варианте это ДУ n-го порядка может быть представлено в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка.
Для получения символьного решения по первому варианту следует:
- По заданному ДУ записывать передаточную функцию W(p);
- Задать изображение по Лапласу входного сигнала u(t);
- Ввести операторное выражение для у(р) в форме y(p): = W(p)*u(p);
- Использовать символьный оператор invlaplace для получения оригинала у(р), т.е. для получения решения y(t);
- Построить график. Определяется значения y(t) для заданных значений t.
Приведенный диалог сопровождался mcd-файлом, в котором было получено символьное решение ДУ второго порядка без задания числовых значений коэффициентов и с заданием последних. Объем файла не позволяет привести его полностью. Поэтому ограничимся здесь вариантом символьного решения ДУ с заданными значениями коэффициентов (файл S Mathcad 2001 Pro).
Аналогичным путем может быть получено символьное решения уравнения с коэффициентами в виде символов. Надстрочное обозначение производных в ДУ вводится в MathCAD Pro клавишами Ctrl + F7.
Учет ненулевых начальных условий при символьном решении линейных ДУ удобно осуществлять с использованием второго варианта – формированием системы n дифференциальных уравнений первого порядка и изображения по Лапласу матричной экспоненты. Этот способ заслуживает отдельного рассмотрения.
Вопрос. Как с помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями?
Ответ. Системы MathCAD Pro предоставляют широкие возможности для символьного и численного вычисления кратных интегралов, облегчая получение конечного результата в этих, в общем случае, нетривиальных задачах. Область приложений кратных интегралов весьма широка, однако, здесь не ставится задача исчерпывающего анализа всех возможных случаев применения кратных интегралов в прикладных задачах. Проиллюстрируем эффективность использования среды MathCAD Pro при вычислениях кратных интегралов на двух типовых задачах.
Задача 1. Вычислить объем тела, образованного прямым круговым полуцилиндром с радиусом R и секущей плоскостью, проходящей через диаметр основания цилиндра и границу цилиндра на высоте h.
Выберем прямоугольную систему координат XYZ, в которой XOY – плоскость основания цилиндра, причем на оси ОХ расположим диаметр основания, через который проходит плоскость; начало координат совместим с центром круга основания цилиндра. Тогда искомый объем может быть выражен с помощью трехкратного (вариант 1) и двукратного (вариант 2) интегралов, символьное вычисление которых приведено в файле V ( Mathcad 2001 Pro).
Двукратный интеграл в данной задаче образуется после вычисления внутреннего интеграла в варианте 1, в результате которого получаем уравнение секущей площади вида: z = hy/R.
Задача 2. Вычислить объем тела, заключенного между сферой с радиусом, равным 4, цилиндром  и ограниченного плоскостями XOY, XOZ.
На рис. 1 приведено решение этой задачи в прямоугольных и цилиндрических координатах. Справа (см. рис. 1) изображена кривая, ограничивающая основание цилиндра.
Рис. 1. Решение задачи 2
Так же, как и в предыдущей задаче, искомый объем может быть вычислен с помощью двукратных интегралов.
Вопрос. Есть матрица А с действительными числами. Надо найти e^(A*t).
Ответ. Вопрос интересный и относится к способам получения так называемой матричной экспоненты (фундаментальной матрицы) Ф(t). Конечно, "лобовая" попытка возвести экспоненту в матричную степень не приведет к положительному результату ввиду математической некорректности этой операции.
Для получения решения можно предложить несколько способов, например:
1. Путем решения (численного интегрирования) матричного дифференциального уравнения вида: dФ(t)/dt = A*Ф(t) при начальном условии Ф(0) = Е (Е - единичная матрица).
2. С помощью матричного степенного ряда, похожего (внешне) на ряд для экспоненты.
3. С помощью преобразования Лапласа. Легко убедиться, что изображением по Лапласу для матричной экспоненты служит известная резольвента: Ф(s) = [s*E – A](^-1) (см, например, файлы Resolventa* в ссылках http://www.exponenta.ru/soft/Mathcad/ivanovsky/11/2.asp и http://www.exponenta.ru/soft/Mathcad/ivanovsky/11/3.asp. Первый и второй способы годятся только для вычисления значения фундаментальной матрицы для заданного значения t. Третий - пригоден для символьного (аналитического) решения.
В присоединенном файле q17 ( 2001-ая версия MathCAD) - простой пример на использование третьего и второго способов с комментариями. Обратите внимание, что во втором способе матрица вычисляется для малого интервала дискретности (равного 0.2), а значение Ф(1) находится возведением полученной матрицы Ф(0.2) в пятую степень. В общем случае выбор интервала дискретности и, связанного с ним, числа членов ряда, непроизволен и определяется свойствами исходной матрицы. Эта тема заслуживает отдельного рассмотрения.
Вопрос. Как в Mathcad решать задачи линейного программирования?
Ответ. В среде Mathcad решение находится в рамках так называемых вычислительных блоков (начинаются с ключевого слова given) с использованием встроенных функций minimize или maximize для минимизации или минимизации целевой функции. В прилагаемых файлах opt1 и opt2 ( 2001-ая версия MathCAD) приведены решения двух типовых задач, в которых показано, что и как должно быть введено для получения решения. Целевую функцию и ограничения можно записывать в виде отдельных выражений, а также и в векторно-матричной форме (которая применена для ввода ограничений в прилагаемых файлах).
Вопрос. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=х*х и х=у*у.
Ответ. Это типовая задача на двойные интегралы. Точки пересечения парабол - (0,0) и (1, 1).
Площадь между этими параболами можно также найти как разность двух площадей: (площадь под параболой х=у*у в диапазоне х от 0 до 1) минус (площадь под второй параболой в том же диапазоне).
В прилагаемом файле square ( 2001 версия MathCAD) даются эти два варианта решения.
|
