X. Использование гиперболических функций при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений

  В начало

Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения п- го порядка вида:

где коэффициенты - непрерывные функции от х или постоянные.

Если f(x) 0 , то уравнение называется неоднородным, если f(x) 0 - однородным.

Рассмотрим линейное однородное уравнение:

Если функции являются линейно независимыми решениями, рассматриваемого дифференциального уравнения, то его общее решение определяется формулой:

где - произвольные постоянные.

Напомним, что функции у1(х), у2(х),…,уn(x) называются линейно независимыми на некотором промежутке, если они не связаны никаким тождеством:

где - постоянные, не равные нулю одновременно. В случае двух функций это означает: у1(х) и у2(х) линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной.

Когда коэффициенты линейного дифференциального уравнения – постоянные величины, его частные линейно независимые решения находятся при помощи корней соответствующего характеристического уравнения:

Принимаем во внимание, что:

а) каждому действительному простому корню l соответствует частное решение е^lх ;

б) каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствуют два частных решения:

в) каждому действительному корню кратности К соответствует К частных решений:

г) каждому комплексному корню l=a+bi кратности К соответствует 2К частных решений:

Если среди действительных корней или действительных частей комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения имеются пары равных по абсолютной величине и противоположных по знаку (обозначим их a и -a ), то выражая е^aх и е^-aх через гиперболические функции получим:

Тогда общее решение дифференциального уравнения будет содержать в качестве линейно независимых решений функции вида:

Рассмотрим некоторые часто встречающиеся примеры линейных дифференциальных уравнений, общие решения которых записываются с использованием гиперболических функций.

1) у''- а²у=0 , a >0 .

Характеристическое уравнение l²-a²=0 легко решается и дает:

l₁=а, l₂ = – а.

Таким образом: |l₁ |=| l₂ |= а, l₁ =- l₂. Поэтому решение принимает вид:

у= с1 chax+ с2 shax .

2) у^{(I V)} +m y=0 .

А. m =-а⁴< 0, в этом случае характеристическое уравнение l⁴- а⁴=0 имеет следующие корни: l_1,2=± а , l_3,4 =± iа . Таким образом:

у= с1 chax+ с2 shax+ с3 cosax+ с4 sinax .

Б. m =4а⁴ > 0 , после решения характеристического уравнения l⁴+ 4а⁴=0  получим две пары комплексно-сопряженных корней, имеющих равные по абсолютной величине и противоположные по знаку действительные части:

l_1,2,3,4=± а(1± i ) .

В качестве линейно независимых частных решений рассматриваемого однородного уравнения берём:

у₁(х)=chax cosax , у₂(х)=chax sinax ,

у₃(х)=shax cosax , у₄(х)=shax sinax .

Следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения примет вид:

у= С1chax cosax + С2сhax sinax + C3shax cosax+ C4shax sinax .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Проинтегрировать следующие нелинейные дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков:

1. . Уравнение с разделяющимися переменными.

Ответ: y=sh(x+c).

2. . Подстановка

Ответ:

3. . Подстановка

Ответ:

1) у= -с₁th(с₁x+ с₂) , если |у| < | с₁|;

2) у= -с₁arcth(с₁x+ с₂) , если |у| > | с₁|

4. . Гиперболическая подстановка

Ответ: у=ch(x+ с₁)+ с₂.

5. Гиперболическая подстановка y=x shz,

Ответ: y=x·sh(x+c) .

6. Гиперболическая подстановка y=x shz .

Ответ:

7. y'+ а²у² - в²=0 . Это уравнение с разделяющимися переменными.

Ответ:

8. . Однородное уравнение. Подстановка

Ответ:

9. . Подстановка

10. Уравнение, допускающее понижение порядка.

Ответ: у=sh(x+ с₁)+ с₂ x+ с₃ .

Наверх

В начало