Архив разработки (4 Кб, Maple)

Введение

Биффуркация из предельного цикла.

Явление удвоения периода, или, иначе, генерации субгармоники, давно известно в электронике. Например, некоторые электронные цепи описываются уравнением Дуффинга

соответствующим отклику нелинейного осциллятора на периодическую возмущающую силу. Даже это проостое уравнение описывает множество явлений, связанных с удвоением и утроением периода. Другие субгармоники также могут присутствовать. Может наблюдаться целая последовательность удвоений или утроений периода.

Осциллятор Дуффинга

> restart; with(plots): with(DEtools):

Warning, the name changecoords has been redefined

Уравнение Дуффинга:

> eq:=diff(x(t),t,t)+2*delta*diff(x(t),t)+a*x(t)+b*x(t)^3=F*cos(nu*t);

Система уравнений:

> sys:=[diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)+2*delta*y(t)+a*x(t)+b*x(t)^3=F*cos(nu*t)];

Задание параметров системы:

nu: 0.1, 0.5, 1, 1.2,2

> delta:=0.35/2:
a:=0:
b:=1:
F:=8.5:
nu:=1.2:
sys;
eq; ##F=8.5,8.0,6.6

Начальные условия

> ic:=[[x(0)=1,y(0)=0]];##,[x(0)=2,y(0)=0],[x(0)=.5,y(0)=0],[x(0)=0,y(0)=0]];

Создание массива

Если файла с массивом p (temp.m) не существует, символы комментариев нужно убрать и выполнить команды этой исполнительной группы. Если файл уже создан, то массив p будет загружен с помощью команды read.

Инициализация:

начальное и конечн. значения счетчика: i1:=1:i2:=40: #1,180

начальное и конечн. время: t1:=100*Pi: t2:=138*Pi: #100*Pi,108*Pi

шаг DEplot: ss:=0.08: #0.08:

шаг цикла: step:=1: #1

> read "temp.m":

> Digits:=4:

Эволюция фазового портрета при изменении параметра от 0.01 до 1.8 с шагом 0.01

> pp:=display([seq(p[i],i=i1..i2)],insequence = true):

> ppc:=plot(x*1.5,x=-4..4):nup:=textplot([1,6,"nu="]):

> display(ppc,pp,nup);

> f:=dsolve({eq,x(0)=1,D(x)(0)=0},x(t),type=numeric,method=dverk78,output=listprocedure):

> fp := subs(f,x(t)):

Установившиеся колебания:

> ti:=99*Pi; tf:=(112+50)*Pi; steps:=10000;nu:=0.02;

> vals:=seq([ti+(tf-ti)*i/steps,fp(ti+(tf-ti)/steps*i)],i=0..steps):

> pointplot([vals],connect=true,color=red,title="oscillations",labels=[time,x],numpoints=200);

Фазовый портрет:

> sol:=dsolve({sys[1],sys[2], op(ic[1])},
{x(t),y(t)}, type=numeric,method=dverk78, output=listprocedure):

> px := subs(sol,x(t)): py := subs(sol,y(t)):

> pvals:=seq([px(ti+(tf-ti)*i/steps),py(ti+(tf-ti)/steps*i)],i=0..steps):

> pointplot([pvals],connect=true,color=red,title="oscillations",labels=[x,y],numpoints=500);

Литература

1) Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука, 1987.

2) Хакен Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. - М.: Мир, 1985.