|
 Архив разработки (29 Кб, Maple 7)
Задача
1. Энергетическим способом интегрирования дифференцирования уравнения изгиба определить коэффициент приведения длины стойки 
постоянного поперечного сечения.
2. Определить размеры поперечного сечения стойки  с помощью коэффициента понижения  , если Р = 200 кН, l = 3м,
материал стойки - сталь3, допускаемое напряжение на сжатие ![[sigma][`сж`] = 160](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%924.gif) мПа.
![[Maple OLE 2.0 Object]](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%925.gif)
Выражение для прогиба, угла поворота и радиуса кривизны балки.
| > |
V:=a[0]+a[1]*z+a[2]*z^2+a[3]*z^3+a[4]*z^4;
`V'`=diff(V,z);`V''`=diff(V,z$2); |
![V := a[0]+a[1]*z+a[2]*z^2+a[3]*z^3+a[4]*z^4](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%926.gif)
![`V'` = a[1]+2*a[2]*z+3*a[3]*z^2+4*a[4]*z^3](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%927.gif)
![`V''` = 2*a[2]+6*a[3]*z+12*a[4]*z^2](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%928.gif)
Найдём систему линейных уравнений относительно a[0],a[1],a[2],a[3] c постоянными l и a[4].
| > |
'V'(0)=0,subs(z=0,V)=0;
'V'(3*l/5)=0,subs(z=3*l/5,V)=0;
`V''`(0)=0,subs(z=0,diff(V,z$2))=0;
`V''`(l)=0,subs(z=l,diff(V,z$2))=0;
|
![V(0) = 0, a[0] = 0](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%929.gif)
![V(3/5*l) = 0, a[0]+3/5*a[1]*l+9/25*a[2]*l^2+27/125*a[3]*l^3+81/625*a[4]*l^4 = 0](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9210.gif)
![`V''`(0) = 0, 2*a[2] = 0](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9211.gif)
![`V''`(l) = 0, 2*a[2]+6*a[3]*l+12*a[4]*l^2 = 0](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9212.gif)
Решим эту систему.
| > |
sys:=
subs(z=0,V)=0,
subs(z=3*l/5,V)=0,
subs(z=0,diff(V,z$2))=0,
subs(z=l,diff(V,z$2))=0:
solve({sys},{a[0],a[1],a[2],a[3]});
assign(%); |
![{a[0] = 0, a[2] = 0, a[1] = 63/125*a[4]*l^3, a[3] = -2*a[4]*l}](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9213.gif)
![a[4] := 125*a](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9214.gif)
Тогда выражения V, V', V'' можно переписать в виде.
| > |
'V'=collect(V,a);
`V'`=collect(diff(V,z),a);
`V''`=collect(diff(V,z$2),a); |
Найдём потенциальную энергию
| > |
'U'=1/2*E*J[x]*Int(expand(diff(V,z$2)^2),z=0..l);
U:=1/2*int(diff(V,z$2)^2,z=0..l)*E*J[x]; |
![U = 1/2*E*J[x]*Int(2250000*a^2*l^2*z^2-4500000*a^2*l*z^3+2250000*a^2*z^4,z = 0 .. l)](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9218.gif)
![U := 37500*a^2*l^5*E*J[x]](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9219.gif)
Найдём  .
| > |
'lambda'=1/2*Int(expand(diff(V,z))^2,z=0..l);
lambda:=1/2*int(diff(V,z)^2,z=0..l); |
Выразим критическую нагрузку через U и  .
Найдём коэффициент приведения длины из формулы Эйлера.
| > |
'F[кр]'='U'/'lambda','F[кр]'=Pi^2*E*J[x]/(l*'mu')^2;
F[кр]:=U/lambda;
'F[кр]'=Pi^2*E*J[x]/(l*'sqrt'(Pi^2/op(1,F[кр])))^2;
'mu'='sqrt'(Pi^2/op(1,F[кр]));
mu:=evalf(sqrt(Pi^2/op(1,F[кр]))); |
![F[`кр`] = U/lambda, F[`кр`] = Pi^2*E*J[x]/l^2/mu^2](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9224.gif)
![F[`кр`] := 525000/80033*1/l^2*E*J[x]](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9225.gif)
![F[`кр`] = Pi^2*E*J[x]/l^2/sqrt(80033/525000*Pi^2)^2](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9226.gif)
Таблица значений  , соответсвующих вычисляемому  .
Таблица значений коэффициента понижения  от  .
| > |
#CreateSpreadsheet(piv); |
График зависимости коэффициент  от  (проинтерполированная таблица).
| > |
plot({phi(x),SPL(x)},x=0..200,color=[red,green],labels=[l,f],labelfont=[SYMBOL,14]); |
![[Maple Plot]](sopr/sopr.gif)
Введём начальные условия
| > |
l:=3;i[x]:='sqrt'(J[x]/A);J[x]:=a^4/12;A:=a^2;sigma[сж]:=160; |
![i[x] := sqrt(J[x]/A)](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9285.gif)
![J[x] := 1/12*a^4](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9286.gif)
![sigma[`сж`] := 160](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9288.gif)
 и дополнительная сила вычисляются по формуле:
| > |
'lambda'='mu'*'l'/'i[x]';
'P[доп]'='phi'('mu'*'l'/'i[x]')*'sigma[сж]'*'A'*`[Па]`; |
![lambda = mu*l/i[x]](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9290.gif)
![P[`доп`] = phi(mu*l/i[x])*sigma[`сж`]*A*`[Па]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9291.gif)
Подберём значение стороны квадрата такое, чтобы дополнительная нагрузка лежала в пределах нагрузки P = 200 кПа ± 5%.
| > |
p1:=plot([seq([asd/1000,P[asd]],asd=10..200)],view=[0.. 0.1,0..1000],title="График зависимости Р[доп] от а",labels=['a',Рдоп]):
l1:=line([0,200],[.0723,200],linestyle=3):
l2:=line([0.0420,200],[0.0420,0],linestyle=3):
l3:=line([.0723,200],[.0723,0],linestyle=3):
plots[display]([p1,l1,l2,l3]); |
![[Maple Plot]](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9292.gif)
Первое значение будет равно:
| > |
for a from 0.0420 to 0.0424 by 0.0001 do
'a'=a*`[м]`,'lambda'=evalf(mu*l/i[x]),'phi'=SPL(evalf(mu*l/i[x])),
'P[доп]'=SPL(evalf(mu*l/i[x]))*sigma[сж]*10^3*A*`[кН]`;od; |
![a = .420e-1*`[м]`, lambda = 303.5060531, phi = .7560004227, P[`доп`] = 213.3735592*`[кН]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9293.gif)
![a = .421e-1*`[м]`, lambda = 302.7851360, phi = .7413020559, P[`доп`] = 210.2225882*`[кН]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9294.gif)
![a = .422e-1*`[м]`, lambda = 302.0676357, phi = .7268972900, P[`доп`] = 207.1180432*`[кН]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9295.gif)
![a = .423e-1*`[м]`, lambda = 301.3535279, phi = .7127809068, P[`доп`] = 204.0594798*`[кН]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9296.gif)
![a = .424e-1*`[м]`, lambda = 300.6427883, phi = .6989477794, P[`доп`] = 201.0464576*`[кН]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9297.gif)
Второе значение будет равно:
| > |
for a from 0.072 to 0.0724 by 0.0001 do
'a'=a*`[м]`,'lambda'=evalf(mu*l/i[x]),'phi'=SPL(evalf(mu*l/i[x])),
'P[доп]'=SPL(evalf(mu*l/i[x]))*sigma[сж]*10^3*A*`[кН]`;od; |
![a = .72e-1*`[м]`, lambda = 177.0451976, phi = .2380153241, P[`доп`] = 197.4194304*`[кН]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9298.gif)
![a = .721e-1*`[м]`, lambda = 176.7996426, phi = .2387314858, P[`доп`] = 198.5638629*`[кН]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%9299.gif)
![a = .722e-1*`[м]`, lambda = 176.5547677, phi = .2394519200, P[`доп`] = 199.7159275*`[кН]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%92100.gif)
![a = .723e-1*`[м]`, lambda = 176.3105702, phi = .2401762867, P[`доп`] = 200.8753763*`[кН]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%92101.gif)
![a = .724e-1*`[м]`, lambda = 176.0670474, phi = .2409042517, P[`доп`] = 202.0419633*`[кН]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%92102.gif)
Выбираем наименьшее a для того, чтобы расход материала на балку был наименьшим.
| > |
print(`Относительная погрешность при нахождении дополнительной нагрузки составляет:`); |
| > |
convert(200,symbol)/convert(201.0464576,symbol)*convert(`*100%`,symbol)=`99.48%`; |
| > |
`Ответ:`;'mu'= 1.226605110,'a'= 0.0424*`[м]`; |
![mu = 1.226605110, a = .424e-1*`[м]`](sopr/%C3%91%C3%8E%C3%8F%C3%90%C3%8E%C3%8C%C3%80%C3%92106.gif)
|
