Архив разработки (80 кб, Matlab, Word)

Рассматриваемое уравнение:

(1)

Где a =0 - декартовы координаты, a =1 - цилиндрические координаты (x=r, y=z).

Граничные условия:

Граница 1: ;

Граница 2: ;

Граница 3: ;

Граница 4: .

Расчетная сетка:

Разностная аппроксимация (1):

(2)

Где:

…граничных условий (с первым порядком аппроксимации):

Граница 1: - => ,  ,

Граница 2: => ,  , ;

Граница 3: => ,  , ;

Граница 4: => ,

, .

Здесь .

Представление (2) в матричном виде (прогонка по индексу i):

С учетом условий на границах 2 и 4:

, (3)

Получаем систему:

В матричном виде:

E₂ - единичная квадратная матрица (N₂-1)X(N₂-1);

получаем:

(4)

К (4) следует прибавить условия на границах 1 и 3:

где:

,

,

Получаем систему следующего вида:

(5)

где:

,,

,,, ,

, ,

Алгоритм матричной прогонки:

1. Прогоночные коэффициенты:

   ,

   ,

2. Решение:

Решение на границах 2 и 4 находится согласно (3)

Для прогонки по j из (2) имеем:

С учетом условий на границах 1 и 3 имеем систему:

В матричном виде:

E₁ - единичная квадратная матрица (N₁-1)X(N₁-1);

Получаем:

Добавляя условия на границах 2 и 4:

где:

,

,

Получаем систему вида:

где:

,,

,,, ,

, ,

Алгоритм матричной прогонки:

1. Прогоночные коэффициенты:

   ,

   ,

2. Решение:

Решение на левой и правой границах находится из соответствующих граничных условий:

, ,

Литература: Cамарский А.А., Гулин А.В. "Численные методы математической физики", Научный Мир, Москва, 2000, с. 187-191

В начало