|
Вернуться на страницу <Методические разработки>
 Архив разработки (22 Кб, Mathcad-документ)
В качестве модели, на которой проводится демонстрация сценария появления хаоса, используется разностное уравнение с одной переменной:
 =  . (1)
Данное разностное уравнение (называемое логистическим разностным уравнением) описывает математическую модель роста некоторой биологической популяции. В данной модели предполагается, что численность популяции n+1-поколении пропорциональна численности популяции в n-ом поколении (линейный член в (1)). Квадратичный член описывает уменьшение прироста популяции, обусловленное возникающей перенаселенностью или распространением болезней.
Оказывается удобным преобразовать уравнение (1), проведя следующую замену переменных  =  . После которой уравнение (1) приобретает следующий вид:
 =  , (2)
где r =  . Из (2) видно, что при  значение будет отрицательным, что противоречит физическому смыслу переменной x. Анализ (2) показывает, что для недопущения данной ситуации необходимо наложить следующие ограничения на значения переменной x и параметра r:
Определим функцию, стоящую в правой части (2):
 - количество точек по переменной х
 - количество точек по переменной r
 - задание начальных значений переменной х
 - задание значений параметра роста r
 - вычисление 30 значений переменной х для r = 0.1,0.2,..,0.9
Построение орбит отображения (2) для различных значений параметра роста r
 
 
 
Анализ орбит отображения на представленных выше рисунках позволяет сделать вывод о том, что их характер существенным образом изменяется при изменении параметра r. При  орбиты после переходного процесса достигают некоторого значения устойчивого значения (неподвижной точки, называемой аттрактором). При r = 0.8 после переходного процесса орбита отображения становится строго периодической c периодом 2. При r = 0.9 орбита представляет собой более сложное движение.
Изменение характера орбиты наиболее наглядно демонстрирует график зависимости  =  . Для его построения проводим вычисления орбит при различных значениях параметра роста r.
 - задание числа итераций
 - задание числа значений переменной r
 - задание номера итерации, начиная с которого сохраняются значения итерации в матрице B
Построение зависимости итерированных значений от параметра роста r
Из зависимостей, представленных на данных рисунках, что при значении параметра роста r =  происходит расщепление (бифуркация) неподвижной точки x* на два осциллирующих значения x1* и х2*. (Говорят, что пара величин х1* и х2* образует устойчивый аттрактор с периодом равным 2). Следующая бифуркация (ращепление каждой из точек х1* и х2* на две) происходит в точке r = 0.8623. Из представленной зависимости также видно возникновение периодического движения внутри областей хаоса при значениях параметра роста r>0.95.
Для понимания отличий нехаотического и хаотического режима отображения (2) сравним орбиты с близкими начальными условиями в этих режимах. В качестве меры этого отличия естественно выбрать модуль разности между значениями соответствующих орбит отображения, отнесенный к значению одной из орбит.
 - задание количества итераций
 - задание начального приближения для первой орбиты
 - задание начального приближения для второй орбиты
 - вычисление орбит для r =0.76
 - вычисление орбит для r =0.93
Из представленных зависимостей очевидно, что в нехаотическом режиме отличие в траекториях проявляется в переходном режиме, причем ее величина на превосходит 0.0015%. В хаотическом режиме начиная с 25 итерации происходит "разбегание" траекторий.
Объяснение обнаруженной зависимости динамического поведения орбиты отображения от параметра роста r может быть дано с помощью графического метода итерирования функции f(x,r). Построим график функции f(x,r) и проведем прямую, соответствующую функции y = x.
 - определение дискретной переменной для построения графика функции f(x,R) и прямой
 - задание значения параметра роста
Как легко убедиться, используя режим курсора прямая пересекает график функции f(x,0.6) в двух точках: x1* = 0 и х2* = 0.58333. Повторение итераций для этих точек дает постоянную последовательность. Если точка  не является одной из неподвижных точек, то орбита находится в соответствии со следующим алгоритмом. Сначала проводится вертикальная прямая из точки с координатами { } до пересечения с кривой f(x,0.6) в точке { }. Затем проводится горизонтальная прямая из точки { } до пересечения с прямой в точке { }. Так как на этой прямой значение y равно значению х, то значение х в точке пересечения является первой итерацией  =  . Аналогично находится вторая итерация. Из точки { } проводим вертикальную прямую до пересечения с графиком функции f(x,0.6). Фиксируем точку  и проводим горизонтальную прямую до пересечения с наклонной прямой. Значение координаты х в точке пересечения дает  . Дальнейшие итерации находят повторяя описанную процедуру:
1) двигаются по вертикали до пересечения с кривой y = f(x,0.6)
2) двигаются по горизонтали до пересечения с прямой x = y
3) повторяются шаги, описанные в пунктах 1,2.
 - начальное приближение
 - вычисление орбиты отображения
  - вычисление массивов, описывающих ступенчатую функцию
  
 - значение неподвижной точки
Варьированием начального приближения  непосредственно можно убедиться в том, что при любом начальном приближении итерационный процесс будет сходиться к точке x2* = 0.5833. Это свидетельствует о том, что неподвижная точка x1* = 0 является неустойчивой. Для объяснения различия между неподвижными точками x1* и х2* сравним значения производных в функции f(t,R) в этих точках.
 - определение производной функции f(x,t)
 - значение модуля производной в точке х1*
 - значение модуля производной в точке х2*
Сравнение значений производных позволяет предположить, неподвижная точка х* является неустойчивой, если  и, наоборот, является устойчивой при  . (Аналитическое доказательство этого утверждения приводится в работах, указанных в списке литературы.)
Исследуем поведение модуля производной функции f(x,R) при приближении значения параметра роста r к критическому значению.
 - задание количества точек для вычисления значения производной в неподвижной точке
 - определение значений параметра роста r, для которых вычисляются значения производной
 - вычисление орбит при различных значениях параметра роста r
Вывод значений параметра роста и модуля производной функции f(x,R)
 
Из представленных выше значений параметра роста r и производных очевидно, что по мере роста r значение модуля производной функции приближается к 1. То есть неподвижная точка функции f(x,r) становится неустойчивой, что и приводит к рождению (бифуркации) с периодом 2. Так как после бифуркации только после каждой второй итерации аттрактор функции f(x,r) принимают то же самое значение, то значения аттрактора функции f(x,r) являются неподвижными точками функции g(x,r) = f(f(x,r),r).
Проведем вычисления, подтверждающие высказанное утверждение для r = 0.785.
1) Нахождение аттрактора отображения (2)
 - задание количества итераций
 - задание значения параметра роста r
 - начальное приближение
 - вычисление орбиты отображения
Значения аттрактора для r = 0.785
2) Нахождение неподвижных точек функции g(x,r)
 - определение функции g(x,r)
- начальное приближение
 - вычисление значений функции g(x,r)
- вычисление массивов, описывающих ступенчатую функцию
Неподвижная точка
 - начальное приближение
 - вычисление орбиты отображения
- вычисление массивов, описывающих ступенчатую функцию
Неподвижная точка
Таким образом, сравнение численных значений аттрактора функции f(х,r) и неподвижных точек функции g(x,r) = f(f(x,r)) подтверждает высказанное выше утверждение, о том что неподвижные точки функции g(x,r) совпадают со значениями аттрактора функции f(x,r).
По мере увеличения параметра роста r неподвижные точки функции g(x,r) станут неустойчивыми и произойдет бифуркация, то есть появление аттрактора с периодом 4. (Анализ поведения производной функции g(x,r) при возрастании r, полностью аналогичен анализу проведенному для производной функции f(x,r), а потому мы оставляем его читателю). Здесь по аттрактором понимается совокупность 4-х величин (х1*, х2*,х3*,х4*).
Так как период аттрактора равен 4 следует изучать устойчивость неподвижных точек функции h(x,r) = f(f(f(f(x,r),r),r),r) = g(g(x,r),r). Легко проверить, что неподвижные точки отображения (2), найденные заменой функции g(x,r) на функцию h(x,r) в соответствии с описанным выше алгоритмом, совпадают со значениями аттракторов, которые могут быть найдены непосредственным измерением орбиты отображения .
- Фейгенбаум М. Универсальное поведение нелинейных систем//УФН, т. 141, вып. 3, 1983. с. 343-374.
- Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. - М.: Мир, 1988.
- Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление. -М.:Мир., 1989.
- Гулд. Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Т. 1-М.: Мир, 1990.
Вернуться на страницу <Методические разработки>
|
