РАЗДЕЛ 1.Системы линейных уравнений.

Понятия системы линейных уравнений, решения системы. Системы несовместные и неопределенные, однородные и неоднородные. Определители, решение линейных систем с помощью определителей. Матрицы, правила действия над ними. Алгоритм вычисления обратной матрицы. Решение матричных линейных уравнений. Метод Гаусса.

 

Вопросы для самоконтроля.

1.     Запишите систему линейных уравнений в общем виде, объясните по какой схеме в ней осуществляется нумерация коэффициентов, переменных и свободных членов. Каким образом записывается система, если использовать знак суммы?

2.     Сформулируйте определение решения системы с двумя и тремя переменными. Приведите примеры таких систем и их решений. Как проверить, является ли заданная вектор-строка решением конкретной системы?

3.     Приведите примеры неопределенной и несовместной систем.

4.     Какие методы решения систем уравнений вы знаете?

5.     Сформулируйте правила Крамера для решения систем двух и трех уравнений. Как выяснить по определителям системы, является ли она неопределенной или несовместной?

6.     Рассмотрите доказательство правила Крамера для системы двух (трех) линейных уравнений.

7.     Понятие матрицы и ее размерности. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, обратная матрица. Применение матриц для решения практических задач.

8.     Приведите пример системы линейных уравнений. Запишите ее в виде матричного уравнения. Решите матричное уравнение.

9.     Сформулируйте основные идеи метода Гаусса. Каким образом определить, является ли система уравнений определенной, неопределенной или несовместной?

10. Понятие однородной системы линейных уравнений. Может ли однородная система быть несовместной? Почему? Каким из методов рациональнее решать однородную систему?

11. Каков геометрический смысл различных случаев систем двух линейных уравнений с двумя переменными? Тот же вопрос для систем трех уравнений с тремя переменными.

 

Упражнения и задания к разделу 1.

I.                   1.Проверить, является ли вектор-строка (0,2,1) решением системы

                                

 

 

          2.Вычислить определители

, , .

         

          3.Решить системы уравнений различными методами

 

x+0,9y=1              x+2y+z=1              5x+y-z-3=0      x+y+3z=0

1,1x+y=-2             -2x+3y=-5             3x+z-4=0          x+2y-2z=0

                           3x+y-z=0               2x-y+2z-5=0     -0,5x-y+z=0

II.                1.При каких значениях параметров системы имеют единственное решение, несовместны или неопределены?

 

2x+3y=8                       mx-y=m+1       ax+y+z=4

2x+my=2(1+m)            x+my=1-m       x+by+z=3

                                                          x+2by+z=4

III.             В начале года вклад размером 6000 ден.ед. вложили в три банка, каждый из которых начисляет вкладчику свой годовой процент. В банк 1 вложили 1/3 всей суммы, в банк 2 – ½ всей суммы, в банк 3 – оставшуюся часть суммы. К концу года сумма возросла до 7250 ден.ед. Если бы первоначально в банк 1 вложили 1/6 суммы, в банк 2 – 2/3, в банк 3 -1/6, то к концу года сумма вклада составила бы 7200 ден.ед. Если бы в банк 1 вложили ½ всей суммы, в банк 2 –1/6, в банк 3 – 1/3, то сумма вклада в конце года составила бы снова 7250 ден.ед. Какой процент выплачивает каждый банк?

 

 

Примеры решения некоторых задач

 

Пример 1. Решить систему трех уравнений с тремя переменными

    x+2y+ z=4

  3x-5y+3z=1

        2x+7y-  z=8

Первый метод решения использует определители и правило Крамера.

система имеет единственное решение.

     Для того, чтобы найти это решение, найдем определители           

 

Система имеет единственное решение – упорядоченную тройку чисел (1;1;1).

Второй метод решения этой системы – метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и выполним над ней элементарные преобразования.

    Сначала умножим первую строку на (-3) и сложим полученную строку со второй строкой, затем первую строку умножим на (-2) и сложим полученное с третьей строкой. Получим матрицу эквивалентную записанной выше.

. Поделим вторую строку матрицы на (-11), а третью строку на 3, после чего получим

.  После сложения третьей строки матрицы со второй строкой, умноженной на (-1), получим

.

По виду последней матрицы делается вывод, что система имеет единственное решение, при этом

               z=1, y=1, x+2+1=4 или x=1.

 

Третий способ решения данной системы заключается в том, чтобы записать её в виде матричного уравнения и решить это матричное уравнение, используя правила действия над матрицами. Для этого введем обозначения

  

После этого система записывается в виде следующего уравнения   откуда следует, что    Найдем обратную матрицу для матрицы  Посчитаем сначала алгебраические дополнения  для элементов  матрицы

 ,     ,

 ,            =9,

,        

Ранее был найден определитель   По формуле для отыскания обратной матрицы имеем

 

Найдем теперь матрицу-строку X, которая и даст решение системы

Ответ: система имеет единственное решение  (1,1,1).

 

Пример 2. Решить систему уравнений

2x   -y  + z=-2

x +  2y+3z=-1

x    -3y-2z=3

1.Решение этой системы с помощью определителей дает следующее

откуда сразу следует, что система не имеет решения (несовместна).

2.Покажем, как этот результат получается по методу Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу системы и произведем элементарные преобразования:

       

 

По последней строке можно судить о несовместности системы.

Ответ: система несовместна.

 

Пример 3. Решить систему уравнений

x+2y-4z = 1

2x+ y-5z = -1

 x- y- z   = -2

1.Решая систему с помощью определителей, получаем:

 Складываем первую и третью строки системы, получаем систему, эквивалентную данной

2x+y-5z = -1

2x+y-5z = -1.

Отсюда делается вывод, что система является неопределенной (или имеет бесконечно много решений).

2.Делаем элементарные преобразования над расширенной матрицей системы:

Так как последняя строка преобразованной матрицы полностью состоит из нулей, можно сделать вывод о неопределенности системы.

Чтобы записать вид решения данной системы, объявим переменную z свободной и выразим через z остальные переменные:

x +2y = 1 +4z          x = -1 +2z

       y = 1 + z           y =   1 + z 

Ответ: решением системы является множество троек вида       (-1+2z, 1+z, z), где .

 

Пример 4. Решить однородную систему уравнений

 

2x + y – z = 0

 x +2y + z = 0

2x – y +3z = 0

 

Определитель системы  , поэтому система имеет единственное решение. Этим решением будет тройка чисел (трехмерный вектор) (0,0,0).

Пример 5. Решить однородную систему уравнений

 

     x + y +3z = 0

     x +2y -2z = 0

-1/2 x+2y+2z = 0

 

Определитель этой системы равен нулю, поэтому система  является неопределенной. Найдем вид решения этой системы. Для этого третье уравнение системы умножим на (1/2) и сложим второе и третье уравнения системы, после чего получаем

 

x+y+3z=0     x+y=0

          z=0,        z=0.

 

Ответ: решением системы является множество точек (-y,y,0), где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ 2.Элементы векторной алгебры.

 

Вектор. Равные, коллинеарные, компланарные векторы. Угол между векторами.  Линейные действия над векторами. Проекция вектора на заданное направление. Координаты вектора и точки в пространствах R и. Длина и направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение двух векторов (определение, свойства, формула для вычисления ). Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов. Формула для вычисления угла между векторами. Вычисление работы по перемещению единицы массы вдоль прямой под действием заданной силы. Векторное произведение двух векторов (определение, свойства, формула для вычисления). Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Вычисление площади параллелограмма и треугольника. Вычисление момента силы. Смешанное произведение трех векторов (определение, формула для вычисления). Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов. Вычисление объема параллелепипеда и пирамиды.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1.Какие векторы называются а) равными; б) коллинеарными; в) компланарными?

2.Сформулируйте правила параллелограмма и треугольника для сложения двух векторов.

3.Какой вектор называется разностью векторов  и ?

4. По какому правилу складываются и вычитаются коллинеарные векторы?

5.Сформулируйте правило умножения вектора на число.

6.Докажите необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

7.Сформулируйте и докажите свойства линейных операций над векторами.