Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Нижегородский государственный педагогический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

 

 

 

 

Рабочая тетрадь по математическому анализу

 

 

 Учебно-методическое пособие для студентов первого курса

физико-математических и технических специальностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нижний Новгород

 

2007

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Нижегородского государственного педагогического университета

 

 

 

 

Функции. Свойства функций: Рабочая тетрадь по математическому анализу.

Учебно-методическое пособие для студентов первого курса физико-математических   

  и технических специальностей. – Н. Новгород: НГПУ, 2007. – 79 с.

 

 

 

 

 

 

 

Работа предназначена для студентов первого курса физико-математических        

и технических специальностей и ориентирована на использование в ходе занятий,    а также для самостоятельной работы. По каждой теме выделены основные знания и умения, которые должны освоить студенты, сформирована система упражнений; каждый этап усвоения нового учебного элемента  предваряется, сопровождается или завершается работой диагностического или проверочного характера. В тетради эти работы обозначены символами: ВД, ТДО, КД, тест.

В данном пособии раскрывается содержание модуля I «Понятие функции одной вещественной переменной», модуль II «Элементарные функции, их свойства  и графики» будет рассмотрен во второй части рабочей тетради.

            Содержание пособия соответствует ГОС-2005 по дисциплине «Математический анализ».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор-составитель: Т. Е. Курапкина, ассистент

Рецензент:               Т.П. Пендина, канд. физ.-мат.наук, доцент

Отв. редактор:        Л.С. Сперанская, канд. физ.-мат.наук, доцент,

                                           зав. кафедрой математического анализа

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение   ……………………………………………………………………4

Работа 1.   ВД    ………………………………………………………….......5

Работа 2.   Модуль вещественного числа  ……………………………. …..10

ТДО 1       …………………………………………………………………..   19

Работа 3.  Метод математической индукции …………………………….. 25      

ТДО 2       ……………………………………………………………….. …. 29       

Работа 4.  Понятие функции одной вещественной переменной.

Арифметические действия над функциями. Равенство двух функций …32

ТДО 3       …………………………………………………………………… 42

Работа 5.   Композиция функций. Обратная функция …………………..  50

ТДО 4       …………………………………………………………………… 61

КД           …………………………………………………………………….. 68

Работа 6.  Тест по теме «Понятие функции одной вещественной переменной»………………………………………………………………… 71

Ответы    …………………………………………………………………….  74

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Содержание изучаемого материала на практических занятиях по математическому анализу раскрывается в рабочей тетради через совокупности конкретных действий, выполнение которых способствует не только их закреплению студентами, но и помогает им осмысливать общий ход рассуждений, обосновывать свои действия.

Каждый новый учебный элемент представлен в тетради в соответствии с основными этапами его усвоения: актуализация (повторение теоретического материала лекции); выполнение новых действий с изучаемым объектом, их распознавание, осмысление и закрепление; применение знаний, полученных на лекции, в знакомой по обучению или новой ситуации, их обобщение и систематизация.

Выделенные этапы усвоения предваряются, сопровождаются или завершаются работами диагностического или проверочного характера. В тетради эти работы обозначены символами: ВД, ТДО, КД, тест. Охарактеризуем назначение названных работ, раскроем их обозначение.

ВД (входная диагностика) – направлена на актуализацию знаний учащихся перед изучением нового модуля (учебного раздела). Результаты ВД позволяют установить степень готовности обучаемых к изучению нового.

ТДО (текущая диагностика обучающего характера) – позволяет выявить степень овладения общеучебными и  специфическими операциями и действиями, определить сегмента типичные и индивидуальные ошибки студентов в процессе усвоения конкретного учебного материала.

КД (контрольная диагностика) – диагностика по результатам выполнения заданий комбинированного характера по одной или нескольким работам. В работах КД студентам приходится выполнять усвоенные действия в различных сочетаниях, встречаемых в модуле. Обязательным элементом работы КД являются задания, направленные на выявление степени понимания изученного материала.

Тесты – наборы заданий для диагностики уровня усвоения темы и анализа результатов выполнения заданий по всему модулю (разделу).

Работы КД, ТДО и тесты предназначены для самопроверки учащимися выполненных заданий, поэтому они, как правило, снабжены ответами, приведенными в конце тетради. Работы ВД приведены без ответов и предполагают их проверку преподавателем.

По каждой теме выделены основные знания и умения, которые должны освоить студенты. Задания для  диагностики достижения указанных целей приведены в работах ТДО (и обозначены Д.1.1, Д.1.2 и т.д., где первая цифра соответствует номеру работы ТДО, а вторая цифра соответствует номеру соответствующей цели, выделенной в работе).

            В основу деления по уровням сложности задач положено наличие или отсутствие алгоритма решения (задания, отмеченные цифрой I в работе КД, – уровень стандарта, характеризуется отметкой “ удовлетворительно”; задания, отмеченные цифрой II,– уровень “хорошо”; задания, отмеченные цифрой III,– уровень “отлично”).                      

 

Рекомендуемая литература:

1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ – М.: Высш. школа, 1981.- Т.1.

2. Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М.: Высш.шк.,1991.

3. Задачник по курсу математического анализа. Учеб. пособие для студентов заочн. отделений физ.-мат. фак-тов пединститутов. Ч.1/ Под ред. Н.Я. Виленкина.  

 М.: «Просвещение», 1971.

 

 

 

 

Работа 1.  ВД

 

1) Раскройте геометрический смысл предложения “ Решить неравенство ”. Постройте геометрическую модель и запишите решение.

Геометрический смысл: Найти на числовой прямой такие точки  …  ,   которые удалены от точки   …  на расстояние, ……..   Геометрическая модель: Решение:       Ответ:

 

Укажите наименьшее целочисленное  решение неравенства из задания 1: ____________

 

2)  Решите уравнение: .

Решение:

 

Какой теоретический факт Вы использовали при решении данного уравнения? ___________________________________________________

 

3) В системе координат (рис.1-6) построены некоторые линии.

1)  Из рисунков 1-6 выберите тот, на котором изображен график функции .

     __________________________

2)  Укажите область определения и множество значений этой функции.

Область определения: _________________________________

Множество значений: ________________________________

3) Какой из приведенных графиков на рис.1-6  не является графиком                                       функции?________________ Почему?________________________

 

 

                                  Рис.1                                                                           Рис.2

                                                                         

 

                                                                                                                                                                     Рис.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                 

 

                                 Рис.3                                                                                Рис.4

                                                                                                                                                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                Рис.5                                                                                     Рис.6

                                                                                                                                        

 

 

 

4) Среди рисунков 7-10 выберите рисунок, на котором изображен график функции, обладающий свойствами 1)-8):

1) ;

2)нечетная функция;

3)убывает;

4) не ограничена ни сверху, ни снизу;

5) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;

6) непрерывна;

7);

8) выпукла вверх при x> 0, выпукла вниз при x< 0.

 

                    
                             Рис.7                                                                               Рис.8

       
                            Рис.9                                                                              Рис.10

 

 

 

Ответ:_____________________________________

 

5) На рис. 11 а)-г) изображены графики некоторых функций. Задайте эти функции формулами и укажите их название.  

                             а)                                                                       б)                                                                              

 

                             в)                                                                    г)

                                                             Рис.11                                                                                                                                                            Ответ:  а)   у=_____________,_____________________________________

              б) у=____________,_____________________________________

              в) у=____________,_____________________________________

              г) у=____________,______________________________________

 

6)В системе координат (рис.12) постройте график функции:

                       

                     

                                                                Рис.12

            

7) Прочитайте график функции, построенный в задании  6:

 

1) Д(f)_____________________________

 

2) График пересекает оси координат в точках ____________________________

 

3) Четность

 

4) Функция убывает на ______________________

 

    Функция возрастает на ________________________

 

5) у_наим= при x _______

 

    у_наиб= при x_______

 

6) Функция ограничена ______________

 

7) Е(f)________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа 2.  Модуль вещественного числа

В результате изучения темы студенты должны:

 Цель 1 (Ц1): знать определение модуля вещественного числа, его аналитическую интерпретацию и  уметь аналитически раскрывать знак модуля чисел и выражений;

Ц2: знать геометрический смысл модуля и давать графическую интерпретацию;

Ц3: знать свойства модуля: 1) ; 2) ≥; 3); 4); 5) >0↔-b≤a≤b; 6)≥b↔a≥b, a≤-b, уметь решать уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля и сводящиеся  к уравнениям и неравенствам типа а)-г):

а) ≥)b,  б) ≥)b,  в)≥)d, г) ≥)d

Ц4: знать графики основных элементарных функций  (линейной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических) и уметь строить графики функций, содержащих знак модуля: а) у=; б) у= ;

 в) у=;   г) .

 

1) Запишите аналитическое определение модуля действительного числа.

Выберите верное утверждение.

Модуль любого числа есть число:

а) положительное;

б) отрицательное;

в) неположительное;

г) неотрицательное.

Ответ:_______________________

2) Запишите свойства модуля, поставив вместо многоточия соответствующий знак (>, <, ).

1) |a + b|     ….    |a| + |b|                               2) 3) 4) 5) | a | b,    …   a   …    -b 6) | a |    …  b, a   …   -b.

 3) Раскройте модуль , выполнив указанные действия в левом столбце, и заполните пропуски в правом столбце.

1) Найдите значения x, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в 0.	x =_________________
2) укажите, при каких значениях x выражение, стоящее под знаком модуля:  а) больше нуля; б) меньше нуля.	а)                     б)   x > ___________                  x<_______________
Следовательно,                             =

 

4) Раскройте модуль:

а) , т. к. _____________________________

б)

в) ………

 

Укажите свойство модуля, которое Вы использовали в п. в)

Ответ:_____________________________________________

 

5) Что на геометрическом языке обозначает символ   и как его записывают аналитически?

Геометрическое истолкование	Аналитическая модель
-	=

 

6) Заполните пропуски в таблице, осуществив перевод с алгебраического языка на геометрический и обратно.

Аналитическая модель	Геометрическое истолкование
1)	1) расстояние на координатной прямой между точками x и 2 равно 0,5
2)	2)
	3)
4)	4) расстояние на координатной прямой между точками x и а меньше ε.

 

7)Слева дано описание геометрического способа решения неравенства .

    Выполните указанные действия, заполнив пропуски в правом столбце.

Чтобы решить неравенство  ,  надо: 1) изобразить на числовой  прямой точку 2; 2)отметить на числовой прямой точки, которые удалены от точки 2 на расстояние, равное 0,5, т. е. найти координаты этих точек; 3)отметить штриховкой все числа x,         которые удалены от точки 2 на расстояние, меньшее 0,5, “выколоть” концы полученного отрезка; 4)записать решение неравенства любым из двух способов: а) с помощью числового промежутка; б) с помощью двойного неравенства

1)                                                      х                            2)     3)                                                     х                                                                                         4)      Решения: а)                                          б)

 

8) Дайте описание геометрического способа решения неравенства , заполнив пропуски в левом столбце. Выполните указанные действия в правом столбце.

Чтобы решить неравенство  , надо: 1) изобразить на числовой прямой_______________ 2) отметить на числовой прямой точки, которые ____________________________________________, т. е. ________________________________________ 3) отметить штриховкой все числа, которые _____________________________________________ 4) записать решения неравенства любым из двух способов.

1)                                               х                                                                                                                                         2)                                              х                                          3)                                                 х                                 4) Решения: а)x є (   …   ;   …   ), x є (   …   ;   …   ) б)

9) Раскройте геометрический смысл предложений 1) и 2), постройте геометрическую модель и запишите решение неравенств:

1)	2)
Геометрический смысл: найти на числовой прямой такие точки…, которые удалены от     точки…
на расстояние
…	…
геометрическая модель:   Решение неравенства :            …	геометрическая модель:   Решение неравенства :             …

10) Множество точек называется____________________________

Для неравенств 1)-3) запишите окрестность, указав точку  и радиус окрестности .

1) U_{___}(_______)= . . .     .

2)U_{___}(_________)= . . .  .

3)U_{___}(_______)=. . .   .

11) Решите уравнения и неравенства из списка 1)-7) и укажите:

а) какие из них не имеют решений;

б) имеют бесконечно много решений;

в) какие уравнения  имеют один корень (укажите его);

г) какие уравнения  имеют два корня (укажите их).

 

1);         2) ;           3) ;          4);

 

5) ;           6) ;       7) .

Ответ обоснуйте.

а)________________, т. к. _________________________________________________________________   б)________________, т. к. _________________________________________________________________   в)________________, т. к. _________________________________________________________________   г)________________, т. к. _________________________________________________________________

 

12) Решите аналитически уравнения и неравенства, записанные в столбце 1, указав выполненные действия в столбце 2 и свойства, которые при этом использовали, в столбце 3 .

 

столбец 1	столбец 2	столбец 3
1)
2)
3)
4)	0           1            2

13) Заполните пропуски в предложениях:

Для того чтобы по данному графику функции  построить график функции

а),нужно ___________________________________________________________________________

б),нужно ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

 

14) Из приведенных графиков (рис.1-4) выберите график функции:

 

а) ;        б) ; 

 в) ;         г) .

 

 Ответ: а)рис._____;               б) рис._____;              

              в)рис._____;              г) рис._____;                                                                                                

 

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                      

                                                                                        

 

 

                                  Рис.1                                                                               Рис.2

 

 

 

 

                                                                                                                                  1

 

                                                                                                                 -3 -2      -1  0 1         2  3

                                                                                                                                     

                                                                                                                                    -1

 

 

 

                                  Рис.3                                                                                  Рис.4

     

 

15) Заполните пропуски и постройте графики функций, указанных в  левом и правом столбцах таблицы.

Для того чтобы построить график функции

 

 

16) В системе координат (рис.7а)-в)) постройте графики следующих функций, предварительно преобразовав аналитическое выражение и указав область определения этих функций.

а)    

  

                                                                                                                                 ,при хє______

ООФ:______________________                                             y(x)=                     ,при хє______

 

                                           

б) y=|x-2|+|x+3|+2                       ООФ:____________________

 

                                                                   

 

 

x<-3

y=________                                                                         , при х_____________

 

-3x<2                                             y=                               , при х_____________

y=_______

                                                                                             , при х_____________

x2

y=                                                                                                                                                                              

                                                                                                                        

 

                                         а)                                                                           б)

                                                                                       Рис.7  

      

в) y=|2^x-1|-|2^x-2|                               ООФ:___________

 

                                                                   

 

 

 

x<__________                            

y=__________                                                                                    , при х_____________                  

 

______x<_________                                                                      , при х_____________

y=_________________                                 y=

                                                                                                             , при х_____________

x__________

y=__________

 

 

                                                                              в)

                                                                           Рис.7

17) а) На рис.8 построен график функции y=при (сплошными линиями). Укажите свойства этой функции, заполнив пропуски, и достройте график при x<0.

1) D(f)=___________________________

Вертикальные асимптоты: х=_______ и х=__________ (построены пунктиром)  

2) f(x) ≠___, f(0)=___

3) f(x)<0 при  xє________   и   f(x)>0 при  xє________   

4) Функция убывающая при  xє________       

5) Функция четная, можно строить график при хє____

При хграфик симметричен относительно __________ построенной его части для х,

        б) Заполните пропуски, указав второй способ построения графика функции  y=:

График функции  у= при получается из графика функции у=_______(при    х), который построен пунктиром на рис.8, сдвигом его  на___ вдоль оси______________________,или переносом системы координат на ________________________. При хграфик строится так же, как и в п.а).

 

                     Y                                                                                   

 

 

 

                       

                                                                                 

                        0                                                                                      

                 -1             1

                      -1                              X                                                                                                 

                                                                                                                     

 

                                                                            

 

                     Рис.8

18) На рис.9 изображен график функции f(x). Запишите аналитическое задание этой функции.   

              

 

f(x)= ….

 

                                                                         у

                                           

                                                                        1

 

                                                                         0

                                                   х

                                                                         -1

 

 

                                                               

                                                                    Рис.9

 

19) В системе координат (рис.10) постройте график функции:

                                                                                        если,

y=

                                                                                         0, если .   

В каком задании Вы уже встречали такой график?_____________________________________

 

Рис.10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТДО 1

Д 1.1 (первая цифра указывает номер ТДО, вторая - номер соответствующей цели).

 

1) Для какого действительного числа существует модуль? ______________________________

    Раскройте модуль по определению:

                         ________, при___________

а) | x-3 | =  ________, при___________

     

б) =|___________|= …

Укажите свойство, которое Вы использовали в п. б)_________________

2) Раскройте знак модуля:

    

а) =
б) =
в)  =

 

 

3) Упростите выражения, записанные в столбце 1, выполнив необходимые действия в столбце 2, и запишите теоретические факты, которые при этом использовали, в столбце 3.

столбец 1	столбец 2	столбец 3
а)  , при х >3
б)   ,  при 0< х < 1

 

 

Д 1. 2

1) Раскройте геометрический смысл предложений а)-г), постройте геометрическую модель и запишите решения уравнений и неравенств:

а) |x|=3	б)
Найти на числовой прямой такие точки   …   , которые удалены от точки   …
на расстояние
…	…
геометрическая модель:     Решение уравнения	геометрическая модель:      Решение уравнения
в)	г)  > 0,5
Найти на числовой прямой такие точки   …   , которые удалены от точки   …
на расстояние
…	…
геометрическая модель:     Решение неравенства	геометрическая модель:     Решение неравенства > 0,5

 

2) Постройте на числовой прямой множество В, если b>0, ε>0.

а)
б)
в)
г) }

 

3) Пусть заданы положительное число ε > 0 и действительное число а. Проверьте равносильность неравенств. Укажите геометрический смысл  этих неравенств:

а)   и   ;		Геометрическое истолкование:
б)   и		Геометрическое истолкование:

 

 

Д 1.3

   1)   Для следующих уравнений и неравенств 1)-4) укажите:

        а) какие из них не имеют решений;

        б) имеют бесконечно много решений;

        в) имеют одно решение (укажите его);

        г) имеют два решения (укажите их).

 

1) ;         2) ;           3) ;          4) 

Ответ обоснуйте.

а)________________, т. к. _________________________________________________________________     б)________________, т. к. _________________________________________________________________     в)________________, т. к. _________________________________________________________________     г)________________, т. к. _________________________________________________________________

 

2) Решите аналитически уравнения и неравенства, записанные в столбце 1, указав выполненные действия в столбце 2 и свойства, которые при этом использовали, в столбце 3 .

 

столбец 1	столбец 2	столбец 3
1)
2)
3)
4)	0           2            3

3) Решите уравнения  и неравенства, записанные в левом столбце таблицы, а в правом столбце обоснуйте выполненные действия, указав соответствующие теоретические факты.

а)
б)
в)

 

 

Д 1. 4.

1) Раскройте модуль в записи функции и запишите аналитическое выражение этой функции, постройте график:  

                     y=   ,  если        y=

                             0, если                 

 

                                                 

2) Постройте график функции  и найдите , , ,. 

           =  . . .   

 

 

         =____;     =___;       =__ ;     =___

 

3) В левом столбце таблицы постройте график функции y=, а в правом столбце укажите этапы его построения.

Работа 3.  Метод математической индукции

В результате изучения темы студенты должны:

Ц1: знать принцип математической индукции и свойства числовых неравенств; уметь применять метод математической индукции при доказательстве утверждений (равенств, неравенств, при решении задач, сводящихся к доказательству утверждений).

1) Запишите аксиому индукции:

Если множество М таково, что выполняются следующие условия: 1) ________________________________________________________ 2) ________________________________________________________ 3) ____________________________→  _________________________, то М= ______________

 

     2) Сформулируйте принцип математической индукции, заполнив пропуски:

Если имеется множество утверждений, каждому из которых приписано _____________________________ и если доказано, что: 1) справедливо утверждение с номером __________________________ 2) из справедливости утверждения с номером _______ следует справедливость утверждения с номером____, то тем самым доказана справедливость __________________________________________________, т.е. справедливость утверждения с ____________________________________ номером n.

Как называются условия 1) и 2)?_________________________________________________________________

    3)  Заполните пропуски, ответив  на вопросы а) и б):

а) Как называется способ доказательства с помощью принципа математической индукции?____________________________________________________________________________________

б) Сколько утверждений одновременно доказывается методом математической индукции?________________

   4) Зрительные места в одном из секторов цирка расположены так, что образуют прямоугольную трапецию, высота которой состоит из 8 рядов кресел. Число мест в первом ряду равно 12. Сколько кресел в секторе, если в каждом ряду, начиная со второго ряда, на 2 кресла больше, чем в предыдущем?

Сделайте слева рисунок, обозначьте на нем данные и требование задачи, а справа составьте математическую модель и решите задачу.

рисунок	математическая модель
	1) Последовательность, о которой идет речь в задаче, состоит из чисел, показывающих количество . . . . . . .  в каждом ряду. Последовательность образует . . . . . . . . .. . . . .  . . .  . . .                                 прогрессию, т.к. an+1=an+ . . . ., где а1= . . .  , 2) по формуле n-го члена an=__________________, где d= . . ., n= . . .   3) Sn= . . . . .

  5) С помощью метода математической индукции докажите формулы для n-го члена (a_n) и суммы n-первых членов (S_n) арифметической прогрессии, используемые в предыдущем задании.

 

a) an=a1+(n-1)d

1) n=1___________ a1=________________________, a1=a1- верное равенство

2) Допустим, что формула верна при n=____ ak=___________________________________   Покажем, что формула верна для члена с номером n=k+1, т.е. покажем, что аk+1=__________________________ По определению арифметической прогрессии: аk+1=__________________________ Тогда по допущению получаем:   аk+1=__________________________   Формула справедлива для члена с номером n=k+1

3) Согласно принципу математической индукции формула верна  . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. .

б) Sn=

1) Запишите формулу для Sn через a1, d, n, используя формулу n-го члена (an) арифметической прогрессии, доказанную в п.а) Sn= . . . . . . . ..

2) Докажите эту формулу, соблюдая все этапы, рассмотренные  в п.а).      1) n=______________          S___ = ____________________         S___ = S___ -верное равенство

2) Допустим, что формула верна при n=______________               S___ = ____________________ Покажем, что эта формула верна для члена с номером n=_____, т.е. покажем, что                         S___ = ____________________                    по определению                по допущению            Sk+1             =     . . . . . . . . .=  . . . . . . . ..      Формула справедлива для члена с номером n=k+1

3) Согласно __________________________________________________ формула верна при ________________________________________________________________________________

 

6) Методом математической индукции докажите утверждения:

а)	б) (
1) n=1
2) Допустим, что утверждение верно при n =______, т. е.
_________________________верно           (гипотеза)	___________________________верно          (гипотеза)
Докажем, что утверждение верно при n=__________. При n = ___________левая часть равна:
____________________      ______________________________________   Утверждение верно при n= . . .	___________________________________ ____________________________________      Утверждение верно при n= . . .
3) Согласно принципу математической индукции утверждение ______________________________________________________________________________.

7) Является ли число вида  натуральным ?

Ответ обоснуйте:________________________________________________________________

Используя результат, полученный в задании 6а, докажите, что

1) n=1   2) Допустим, что утверждение верно при n =______, т. е.      Докажем, что утверждение верно при n=:  .          .          .         .             .           .        = + +(   .             .              .                    Утверждение верно при n= ____________ 3)    Согласно принципу_______________________________________________ утверждение                                  _____________________________________________________________________________

8) а) Докажите неравенство:  двумя способами:

1) Найдите разность левой и правой части неравенства и сравните ее с нулем	2) Используйте неравенство

б) В случае, когда утверждение выполняется, начиная с некоторого натурального номера , то при его доказательстве используется обобщенный принцип математической индукции, отличие которого состоит в том, что база индукции проверяется при .

Докажите неравенство: при , используя обобщенный принцип математической индукции.

Доказательство: 1)

2) Допустим, что неравенство верно при т.е.- гипотеза. Докажем, что неравенство верно с номером :      Утверждение верно при n=_____________.

3) Согласно принципу математической индукции неравенство_______________________

 

9) Проанализируйте доказательство неравенства а), заполнив пропуски, и, рассуждая аналогично, докажите неравенство б).

а) при всех , если	б) если и , то  при всех
1) n=_______ левая часть: _________ правая часть: Следовательно, неравенство верно при n=	1) n=_______ левая часть: = правая часть: = Следовательно,____________________
2) Допустим, что неравенство верно при n=k, т. е. _____________________   Покажем, что утверждение верно при n=k+1, т.е.________________________   Преобразуем левую часть: По допущению . Умножим обе части неравенства, справедливого для n=k, на (1+, сохранив знак неравенства, т.к. .  Сравним полученную правую часть неравенства с требуемым выражением: т.к. Следовательно, неравенство верно при .	2) Допустим, что неравенство верно при_____, т.е.____________________________________   Покажем, что утверждение верно при n=_________, т.е.________________________
3) Согласно принципу математической  индукции неравенство    верно при всех , если	3) Согласно принципу математической  индукции неравенство   . . .

Как называется неравенство, доказанное в п. 9а?

Ответ: _________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТДО 2

Д 2. 1

      1) Докажите, что для любого натурального номера n выполняется следующее равенство:

                   1+2+2²+… +2^n-1= 2ⁿ-1 

Доказательство: 1)

2) Допустим, что равенство верно при  т.е.   Докажем, что утверждение верно для  n=…..                 Утверждение верно при n=_____________.

3) Согласно принципу математической индукции неравенство_______________________

 

2)а) Деревья в парке расположены так, что образуют прямоугольную трапецию, высота которой состоит из 5 рядов деревьев. Число деревьев в первом ряду равно 4. Сколько деревьев в парке, если в каждом ряду, начиная со второго ряда, деревьев в два раза больше, чем в предыдущем?

Сделайте слева рисунок, обозначьте на нем данные и требование задачи, а справа составьте математическую модель и решите задачу.

рисунок	математическая модель
	1) Последовательность, о которой идет речь в задаче, состоит из чисел, показывающих количество . . . . . . .  в каждом ряду. Последовательность образует . . . . . . . . .. . . . .  . . .  . . .                                 ……………………………………………….., т.к. bn+1=bn . . . ., где b1= . . .  , 2) по формуле n-го члена bn=__________________, где q= . . ., n= . . .   3) Sn= . . . . .

  б) С помощью метода математической индукции докажите формулы для n-го члена (b_n) и суммы n-первых членов(S_n) ……………….прогрессии, используемые в предыдущем задании.

 

a) bn=   …

1) n=1___________ b1=________________________, b1=b1- верное равенство

2) Допустим, что формула верна при n=____ bk=___________________________________   Покажем, что формула верна для члена с номером n=k+1, т.е. покажем, что bk+1=__________________________ По определению геометрической прогрессии: bk+1=__________________________ Тогда по допущению получаем:   bk+1=__________________________     Формула справедлива для члена с номером n=k+1

3) Согласно принципу математической индукции формула верна  . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. .

б) Sn=  …

1) n=______________            S___ = ____________________         S___ = S___ -верное равенство

2) Допустим, что формула верна при n=______________               S___ = ____________________ Покажем, что эта формула верна для члена с номером n=_____, т.е. покажем, что                         S___ = ____________________                    по определению                  по допущению            Sk+1             =     . . . . . . . .  .    =  . . . . . . . ..          Формула справедлива для члена с номером n=k+1

3) Согласно __________________________________________________ формула верна при ________________________________________________________________________________

 

3) Докажите следующие утверждения:

а) 3n >n2 при всех	б) (10n +18n-1) кратно 27 при всех
1) n=______   Следовательно,	1) n=______   Следовательно,
2) Допустим, что утверждение верно при n = _________________,
т. е.	т. е.
Покажем, что утверждение верно при n = ____________________,
т. е.	т. е.
Утверждение верно при n =
3) Согласно принципу математической индукции утверждения _________________________

 

 

 

 

 

Работа 4. Понятие функции одной вещественной переменной.

Арифметические действия над функциями. Равенство двух функций

В результате изучения темы студенты должны:

Ц1:  знать определения функционального соответствия и функции; уметь определять, являются ли функциями соотношения, заданные формулами; формулировать  отрицания к определениям понятий;

Ц2: знать операции умножения функции на число, суммы, произведения, частного двух функций;

Ц3: уметь находить область определения и  множество значений функций аналитически и по графику;

Ц4: знать определения равенства двух функций и уметь выяснять равенство двух функций с помощью определения;

Ц5: знать определения основных элементарных функций и вид их графиков, уметь строить графики функций с использованием элементарных свойств и преобразований.

1)Запишите определение отображения множества Х в множество У, заполнив пропуски.

Пусть X и Y – множества произвольной природы. Отображением множества …… во множество ….. называется ………., по которому ___________________________________________________________________________ .

Запишите это определение с помощью кванторов: ____________________________________________________________________________

 

2) Заполните пропуски:

Отображение f , переводящее любое множество X  в множество ,

называется_____________________________ .    

Если X …., то функция f: Х называется _______________________________________________________________________________.

Множество X при этом называется _______________________ и обозначается   _______.

Если при отображении f элементу  соответствует элемент , то     называется __________, а  называется ____________. Множество всех образов функции называется _________________________________________________и обозначается _______.

 

3) Выберите соответствия, которые являются отображениями.

 

1) Пусть X – множество жителей Земли, Х={x}, где x – один из жителей, и

а) f(x)- отец x  (т. е. правило f состоит в указании для x его отца)

б) f(x) – дедушка x

в) f(x) – сын x

г) f(x)- старшая дочь x

2) соответствие задано формулой:

а)

б)

в)

                         1, при х>0

г)

                          -1, при х<0       Ответ:________________________________________

4) Запишите определение графика числовой функции, заполнив пропуски:

Графиком числовой функции  называется ______________________________, y которых первая координата _____ принадлежит __________, а вторая координата ________является соответствующим значением функции:

 (    ;    ) |x___, y=    }

График функции обладает следующим свойством: любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке.

Является ли окружность графиком некоторой функции? Почему?

Ответ: ________________________________________________________________________________

 

5) На рисунках 1 а)-г) изображены графики некоторых функций. Задайте эти функции формулами и укажите их названия.

                                      а)                                                                               б)       

                                      в)                                                                           г)

                                                                      Рис.1

Ответ:  а) y = _________________,______________________

             б) y = _________________,______________________

             в) y = _________________,______________________

             г) y = _________________,______________________

 

6) Определите допустимые значения x, при которых выражение f(x) имеет смысл, т. е. определено:

1)	2)	3)	4)

 

7) Формулы, приведенные в задании 6 ,задают некоторые функции. Поэтому область допустимых значений x, при которых определены названные выражения, совпадает       с____________________________________________________________________________.

 

Запишите область определения функции:	1)	2)
а) указав характеристические свойства множества
б) используя специальное обозначение- D(f), принятое для записи области определения функции

 

Запишите область определения функции:	3)	4)
а) указав характеристические свойства множества
б) используя специальное обозначение- D(f), принятое для записи области определения функции

8) а) В системе координат (рис.2) постройте графики функций, указанных в задании 7.

  

                              1)                                                                    2)

      

                                    3)                                                                    4)

                                                                Рис.2

б) Найдите проекции построенных графиков на ось абсцисс. Выделите построенное множество точек штриховкой (простым карандашом). Как называют выделенное множество точек? ______________________________________________________________________________

 

в) Найдите проекции построенных графиков на ось ординат. Выделите построенное множество точек штриховкой другого цвета. Как называют выделенное множество точек? ______________________________________________________________________________

 

г)

Запишите множество значений функции:	1)	2)
Используя специальное обозначение- Е(f), принятое для записи множества значений функции

 

Запишите множество значений функции:	3)	4)
Используя специальное обозначение- Е(f), принятое для записи множества значений функции

 

9) Укажите D(f) , E(f) для функций, заданных графиками на рис. 3 а)-г).

Для этих функций найдите по графику:

а) D(f) =_______; E(f) = ___________; f(0) =                 ; f(1) =

б) D(f) =_______; E(f) = ___________; g(3) =                 ; g(0)=

в) D(f) =_______; E(f) = ___________; h(0) =                 ; h(a) =

г) D(f) =_______; E(f) = ___________; k(b) =                  ; k(a)=

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                       

                                 Y                                                                                    Y

 

                                                                                      

у=f(x)                                                                                    y=g(x)

 

                                    1

                                                                                          1                                 

                                                                                                                          

                                        0   1                          X                               -1.5         0             3                         X

 

 

 

 

 

 

 

 

                                  а)                                                                                  б)

 

 

                             Y                                                                                   Y

 

                                                                                                         

 

 

у=h(x)                                                                                             y=k(x)          d

                                     d                                                                                                

                                                                                                    a       0    b                    

                      a          0          b                                                                                       X                                                      

                                                             X                                                                  

 

                                                                                                          c

                                                                                                                       

 

 

 

 

                               в)                                                                                г)                             

                                                             

                                                                     Рис.3

 

 

 

 

 

 

 

10) Задайте графически функцию по следующим данным:

 

1)	y                                                  0                 x
2)	y                                                     0                   x

 

11) Приведите аналитический пример функции, если ООФ есть множество Х:

1)	2)	3)
=	=	=

 

12) Найдите область определения функции, решив соответствующее неравенство указанным ниже способом:

1)	2)	3)
используя эскиз графика функции, стоящей под корнем	используя метод интервалов	решив систему неравенств

13) Пусть задана функция , где

Найдите:

1) область определения функции _____________

2)……;   …….;   …….;  ……..;

3) , построив график функции в системе координат (рис.4):__________________

                                                                          

                                                                          Рис.4          

                                                                                    

14) а) Какие операции над функциями Вам известны? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б) Запишите определения умножения функции на число, суммы, произведения, частного двух функций, заполнив пропуски:

Пусть даны две функции: f: D_f → R; g: D_g→ R

1) Суммой функций f и g называется _______________________ ,область определения и закон соответствия которой определяются следующим образом:

    1) D_f+g=_____________

    2) (f+g) (x)= ______________ для всех x  _____

2) Произведением функции f на число k называется ___________________, для которой __________________________________________________________________________

3)Произведением функций f и g называется __________________________, для которой:

    1) D_fg=______________

    2) (fg) (x)= ______________ для всех x  _____

 

 

4) Частным функций f и g называется _______________________________, для которой:

    1) _______________

    2)  _____________ для всех.

 

15) Даны функции:  Запишите в правом столбце выражения для функций, записанных в левом столбце:

а)
б)
в)

 

16)                   y=f(x)                                                            y=g(x)

                             а)                                                                      б)

                                                                  Рис.5

а) Задают ли графики, построенные на рисунках 5а)-б), одну и ту же  функцию на множестве действительных чисел?__________________________________________________________

б) Укажите промежутки, на которых функции f(x) и g(x) равны________________________

в) Задайте аналитически эти функции______________________________________________

 

17) а) Пусть . Среди следующих пар функций выберите функции, равные на множестве Х.

1)  ,    

2) ,     

3),    

4)  ,     

 

 

1) а) Df = ________	а)Dg = ________
б) x 0   1 f(x)	б) x 0 1 g(x)
Следовательно, f(x) _____ g(x)  на
2) а) Df = ________	а)Dg = ________
б) x 0   1 f(x)	б) x 0 1 g(x)
Следовательно, f(x) _____ g(x)  на
3) а) Df = ________	а)Dg = ________
б) x 0   1 f(x)	б) x 0 1 g(x)
Следовательно, f(x) _____ g(x)  на
4) а) Df = ________	а)Dg = ________
б) x 0   1 f(x)	б) x 0 1 g(x)
Следовательно, f(x) _____ g(x)  на

 

б) Для выбранных функций изобразите графически (в виде кругов) соответствия между множествами Х и E_f

1)         X                 Ef                                    2)                X                   Ef           3)            X                    Ef                    4)                X                     Ef

 

18) Укажите в правом столбце таблице множество Х, на котором функции f и g равны.

1) ,	Решение:             Х=
2)  ,	Решение:           Х=
3) ,	Решение:             Х =

 

19)Выясните,  на каком множестве совпадают функции f(x)=2sinxcos3x и g(x)=sin4x+sin2x, выполнив действия, указанные в левом столбце таблицы, и заполнив пропуски в правом столбце.

1) Преобразуйте выражения, входящие в формулы; найдите все значения аргумента, при которых 2sinxcos3x=2sin3xcosx, решив соответствующее уравнение.	g(x)=sin4x+sin2x=______________________
2) Сравните области определения этих функций.
3) Сделайте вывод.	Функции совпадают при х= . . .

 

 

20)  Сделайте выводы из заданий 16-19, заполнив пропуски:

а) Чтобы установить, что функции f(x) и g(x) равны, надо проверить, что

1)_______________________                      

2)_______________________

б) Если функции заданы на конечном множестве X=, то достаточно сравнить_________

________________________________________________________________________________

в) Чтобы найти множество, на котором функции f(x) и g(x) совпадают, надо_______________

________________________________________________________________________________

 

 

 

 

 

ТДО 3

Д 3. 1

1) Пусть Х- множество всех выпуклых четырехугольников на плоскости, У- множество точек этой плоскости. Выясните, какие из нижеприведенных соответствий между множествами Х и У являются отображениями, а какие не являются таковыми. Ответ обоснуйте. Найдите области определения этих соответствий.

Четырехугольнику соответствует:

1) точка пересечения диагоналей;

2) множество центров всех окружностей, не пересекающихся с его сторонами;

3) центр вписанной в него окружности.

Ответ:  1)-…………………….., т.к.     2)-………………………., т.к.       3)-………………………., т.к.

                                                                                                                                  2)Выясните, является ли функцией соответствие, заданное формулой:

 

            3x+2,  - 2x<0

f(x)=        x²,    0 x<1

              -|x|,     1 x2.                                                                                                                

В системе координат (рис.1) постройте график этого соответствия и найдите f(-1), f(0), f(1/2), f(1), f(1,5).

 

Ответ: данное соответствие________________________________________________________, т.к._____________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________   f(-1)=                                                f(0)=   f(1/2)=                                               f(1)=   f(1,5)=                                             Рис.1

 

3) Из указанных соответствий выберите те, которые являются функциями.

а) ;                                 x², -1< x < 0,                                 x², -2< x ≤ 1,

     б) f(x)=        -x+1, 0≤ x< ,             в) f(x)=     -x+1, 0≤ x <,

 , ≤ x ≤1;                          , .

 

              В системе координат (рис.2) постройте графики соответствий а)-в). Какие линии, построенные в системе координат, не задают функцию? Ответ обоснуйте около рисунков.

 

Ответ:                                      а)                                                                б)                                                                                                                                                                                                                                                                                в)                                     Рис.2

 

               

Д 3. 2

1) Даны функции: f(x) =x², g(x)= x-5.

Составьте их сумму, разность, произведение и частное. Являются ли  полученные соответствия функциями? Постройте графики тех из них, которые являются функциями.

f(x)+g(x)	f(x)-g(x)
f(x)g(x)

 

 

2) f(x) = 5^x , g(x) = cos2x +3.  Запишите выражения для следующих функций:

 

а) 2f(x) +3g(x)	б)

3) Укажите такие функции  и, чтобы  соответствие  было функцией. Найдите D_h.

Ответ: =     =   Dh=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д 3. 3

1) Задайте графиком функцию, имеющую следующие ООФ и МЗФ:

Х= (0; 2) , .

                           Рис.3

 

 

2)Найдите ООФ: .

Решение:           Ответ:

 

3) Дана функция:

              ,   х < 0,

f(x)=          2x+1,   0≤ x <,

                                                                             , .

Укажите ООФ. Вычислите f(0), f(1), f(0,5). Постройте график. Определите по графику МЗФ.

 

 

Ответ:                                                                     ООФ:_______________________                                                                                                                                                                  МЗФ:_______________________                                 Рис.4                                                               f(0)=_________, f(1)=_________, f(0,5)=_________

 

Д 3.4

1) Пусть Х = {0, 2}.Равны ли следующие пары функций:

а) f(x)=x²,       g(x)=(x-1)³;                     б) f(x)=x,       g(x)=.

В системе координат (рис.5 а)-б)) постройте графики этих функций.

а) 1) Df = ________  ,        Dg =      2)    x    0      2                 x     0   2                          f(x)                          g(x)               Следовательно, f(x) _____ g(x)  на                Х = {0, 2}.

б) 1) Df = ________  ,      Dg =       2)    x    0      2                 x     0   2                          f(x)                          g(x)               Следовательно, f(x) _____ g(x)  на                Х = {0, 2}.

 

 

а)                                                                     Рис.5

б)

 

2) Найдите множество Х, на котором функции совпадают:

    h(x)=,    v(x)= ,    k(x)=,     p(x)=x.

Ответ обоснуйте.

Ответ:

3)  В какой точке совпадают графики функций f(x) и g(x),если

 f(x)= ,      g(x)=

1) Df= . . .                             Dg= . . . 2)         Следовательно, если х= . . .     , то функции f(x) и g(x) . . . Графики функций  совпадают в точке . . .

 

Д3.5

1) Постройте на рисунке 7 графики функций y=cosx, y=cos2x, y=cos, выделив их разным цветом.

                                                     Рис.7

2) Постройте график функции и укажите ее ООФ и МЗФ:

            3^x, если ,

f(x)=  

            x+2, если >1.

 

D_f=________________;  E_f=_________________

 

                              Рис.8

 

 

3) Покажите, что уравнение х²+2х+1= -1+  не имеет действительных корней, рассмотрев функции f(x)= х²+2х+1 и g(x)= -1+ 

Доказательство:         Какой метод использовали при выполнении этого задания?____________________________

Работа 5. Композиция функций. Обратная функция

В результате изучения темы студенты должны:

Ц1: знать определения композиций двух функций, уметь выделять составляющие композиции функций и выполнять обратную операцию – составлять композиции функций.

Ц2: знать определения биективного  отображения и уметь проверять, являются ли функции  биективными;

Ц3: знать определения обратимой и обратной функции и уметь аналитически находить обратную функцию; давать графическую интерпретацию понятий обратимая и обратная функция, строить по графику обратимой функции график обратной и по графику обратной функции находить исходную функцию.

Ц4: знать определения  и свойства  обратных тригонометрических функций;  уметь строить графики обратных тригонометрических функций.

 

1) а) Сформулируйте определение композиции двух функций, заполнив пропуски:

Композицией функций f и g называется функция __________, для которой

1)

2) ________ для всех х____

б) Пусть даны два отображения:и . Какие условия должны выполняться, чтобы можно было определить композицию f и g?

1) __________________________

 

2) __________________________

2) Для функций f(x) = ln x и g(x) =  найдите композиции, и их области определения.

а) Рассмотрите рисунок и записи, приведенные для композиции  в левом столбце, и приведите графическую интерпретацию  для композиции   в правом столбце.

() (х)=х))	() (х)=х))
f(x) = ln x, Df= Ef=R           Df                               Ef                   x          f             f(x)=lnx                                                                             Dg=                                    g                                                      g(f(x))=     Eg                        g(f(x))=     : xє Df → g(f(x))=	g(x)= . . .    ,   Dg= . . .           ,  Eg= . . .                         : xє Dg→ f(g(x))= . . .
б) Найдите аналитически область определения композиций и
1) По определению композиции функций f и g область определения функции  состоит из тех значений х, для которых выполнены два условия:  и .   Получаем систему:               Таким образом,	1) Для функции  область определения находим, исходя из условий:         Получаем систему: …               =…..
2) Значения функции во всех точках множества Dgof находятся по формуле:	2) Значения функции  во всех точках множества Dfg находятся по формуле:

Выясните, равны ли функции и , сделайте соответствующий вывод о коммутативности композиции функций.

______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

3) Представьте следующие функции в виде композиции основных элементарных функций. Постройте графики функций, являющихся элементами композиции, и с помощью этих графиков найдите множество значений функций f.

1)

2)

_______________ h(x) = ________________   g                                     h              0                                          0                                х                                          x                     f                                       x   Рис.1   g :    . . .→ R h :     R →. . .  R → R Ef  =

__________  h(x) = ___________          g                                     h                     0                                 0                                           x                                  x                      f                                             x                                                                                        Рис.2                             g :    . . .→ . . .   R h :     R →. . .   . . .  →  . . .     ()(x)=______________________________       Ef =

Всегда ли можно определить композицию  для функций, выделенных в правом столбце? Почему?____________________________________________________________

 

Запишите условия и найдите значения х, при которых можно определить композицию .

 

Ответ:

 

4) Сформулируйте определение сужения функции f на множество , заполнив пропуски:

Сужением функции f на множество  называется функция ______, для которой 1) 2) для всех

 

5) Рассмотрим функции f и g, заданные одной формулой, но на разных множествах (рис.3):

                                                                

а)f(x)=x²                                                                         б)g(x)=x²,x0

                                                                   Рис.3                                                                                   

Какая из данных функций является сужением другой и на каком множестве? ________________________________________________________________________________

6) Даны функции ,  .

а) Составьте композицию функций g и f и найдите . Приведите графическую интерпретацию композиции , подпишите множества и заполните пропуски.

f(x)=x+2,  g(x)=log2x =f(             ) g(x)= . . . .  . .  , Dg= , Eg= . . . .                              g                                                  f             (): xє   . ..  →f(g(x))= . . . ()(2)=f(g(2))= . . . . . = . . .

б)  Проанализируйте графическую интерпретацию композиции , заполните пропуски. Установите,  существует ли композиция функций f и g на R? На каком множестве можно определить композицию ? f(x)=x+2,   Df=             Df                               Ef                   x          f             f(x)=x+2                                                              ?                Dg=,   . . . .                                   g                                                      g(f(x))=  log2(…..)     Eg                               Как записать множество, на котором можно определить  композицию ?________ ______________________________________________________________________________   Найдите

 

7) Для функции

вычислите f ( f ( f ( f ( f ( 100 ) ) ) ))

Решение:

f(100) = ________________

f ( f (100) ) = ________________

f ( f ( f (100) ) )= ________________

f ( f ( f ( f (100) ) ) ) = ________________

f ( f ( f ( f ( f ( 100 ) ) ) )) = _______________

 

Где Вы уже встречали эту функцию?________________________________________________

8) Заданы функции:

  и

Задайте аналитически функции и , постройте их графики.

Функция  будет задаваться формулой: т.е.  Итак,	Функция  будет задаваться формулой: = =

9) Решите уравнение: выполнив указанные действия, если функция   

1) Используя результат предыдущего задания, запишите, чему равна функция : а)при ; б) при	1) а)       б)
2) Найдите корни уравнений:    а) ;        б)	2) а)     x1/2=     б)      x1/2=
3) Из найденных корней выберите те, которые удовлетворяют условию: а) ; б)	3)а)   б)
4) Запишите ответ:	4) ответ:

 

 10) Запишите определения:

а) инъективной функции;

б) сюръективной функции;

в) биективной функции, 

        заполнив пропуски:

 а) Функция : ХУ называется инъективной, если ___________________ элементам множества Х соответствуют _____________ элементы множества У, т.е.

Каким свойством обладает график инъективной функции? _____________

 б) Функция : ХУ называется  сюръективной, если ___________________ элементы множества У участвуют в соответствии,  т.е.                     в) Функция : ХУ называется биективной,  если она _________________________,

т.е.

Как еще  называется биективная  функция?______________________________________

11) Разберите пример для соответствия f. Для соответствий g и h выясните (по аналогии с f), являются ли они функциями и биекциями.

 Пример: Множества и  изображены точками плоскости. Законы соответствия  и h между множествами Х и У заданы с помощью стрелок:

 

 

 

               : ХУ                                               : ХУ                                        : ХУ 

                                                                    Рис. 4

: ХУ	: ХУ	: ХУ
Является функцией, т. к. каждому элементу множества Х поставлен в соответствие один элемент множества У (из каждой точки множества Х выходит одна стрелка)   Функция  не инъективна, т.к. на схеме имеются две различные стрелки с общим концом   - не сюръективна, т.к. во множестве У нашлась точка, которая не является концом никакой стрелки (на схеме это точка 3, т.е. () :

12) На рисунках 5 а)-в) изображены графики функций, заданных на естественной области определения. Выделите цветом часть графика, которая задает указанное отображение. В каких случаях функция является биекцией? Обоснуйте свой ответ.

а)   ;      б)   ;

в)   

              

                     а)                                                 б)                                                          в)                                              

                                                                           Рис.5

13) На рисунках 6 а)-г) изображены графики некоторых функций. Эти функции называются обратными тригонометрическими функциями. Укажите свойства этих функций, заполнив таблицу.

функция	y=arcsin x	y=arccos x	y=arctg x	y=arcctg x
область определения
множество значений
монотонность
четность (нечетность)

 

                                                                  Рис.6

 

 

 

14) Запишите определение обратной и обратимой функции, заполнив пропуски:

а) Пусть функция  - инъективна. Обратной функцией для функции называется функция _________, область определения и закон соответствия которой определяются следующим образом: 1)   2)  для всех

б) Функция называется обратимой, если ___________________________________________

______________________________________________________________________________

Продолжите фразу: очевидно, функция обратима в том, и только в том случае, когда она своё значение принимает ровно _______раз, т.е. является ____________

15) Какая симметрия переводит график обратной функции в график первоначальной функции? __________________________________________________________________________

 

16) Проанализируйте процесс нахождения функции , обратной для функции. Заполните пропуски.

1) Нужно проверить, будет ли функция обратима, т.е. проверить: а) сюръективность:     б) инъективность:	а)     функция_________________________ б)____________ . функция ___________________
Вывод:  Каждое своё значение функция принимает ровно _______раз, следовательно, она  _____________________________________________________________________________
2) Нужно найти (у).  Для этого из равенства выразите переменную х:	х=_____________________________
3) Нужно переобозначить переменные:	=________________________________

4) Графики функций  и =_______________ расположены симметрично относительно ___________________________________________________________(рис.7).

                                                        

 

               Рис.7

 

17) Для следующих функций найдите обратную функцию. Постройте график самой функции и обратной ей на одном чертеже.

 

а)	б)
=	=

18) Докажите, что функция обратима, заполнив пропуски. Запишите обратную для неё функцию  и постройте её график. Сравните с графиком исходной функции.

Решение:  1)Покажем, что данная функция обратима. Для этого проверим: а) сюръективность:   б) инъективность: Возьмём две произвольные точки: х1, х2 Докажем, что их образы ______и________ не совпадают. Рассмотрим все возможные случаи: 1) Пусть . Тогда если , то _______________________,т.е. 2) Пусть тогда условие  влечет__________________,т.е.__________ 3) Пусть (-∞; 1), , тогда   Допустим, что , т.е.    Отсюда получим, что  Сравним  с 1.   По условию (-∞; 1), значит,  тогда по свойствам неравенств получим, что                                               Следовательно,  Получили противоречие с условием. Значит, допущение о том, что Следовательно, из того, что Таким образом, различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, и функция является ______________________________________________________ Из п.а),б) следует, что функция -__________________________________________________.

2) Найдем : Если x, то y=х+3, отсюда х= . . . .      и х, получаем у-3, у . . . Если x, то y=3х+1, отсюда х= . . . .    и х<1, получаем   у< . . .                                             y-3, если  y… Следовательно,                                            ….  , если y<… Переобозначив переменные, находим функцию:                 ……., при х …. =                ……., при х <….

3) В системе координат (рис.8) построен график функции у= f(x). Постройте график функции . Рис.8

 

 

 

ТДО 4

Д4.1

1)  Для функций f(x)=cos x и g(x)=3x найдите композиции ,  и их области определения. Найдите ()(), ()().

() (х)=х))	() (х)=х))

 

2) а) Представьте функции f(x)=  и g(x)=3cosx+5 в виде композиции основных элементарных функций;

б) Составьте композиции f(g(x)) и g(f(x));

в) Найдите  f(g(0)), g(f(3)).

f(x)=	g(x)=3cosx+5
f(g(x))	g(f(x))
f(g(0))	g(f(3))

3) Задана функция:

                    1,                  

              arccos x ,   <x1 

f(x)=         2x-1,      1<<3

                  (0,5)^x,     3<4

                   lg x,           ≥4

а) Вычислите f(f(f(f(f(100)))));

б) В системе координат (рис.1) постройте график f(x).

 

Решение: а) f(100)=_____________________________, т.к. 100____________    f(f(100))=____________________________,т.к. f(100)____________ f(f(f(100)))=____________________________, т.к. f(f(100))_________ f(f(f(f(100))))=__________________________, т.к. f(f(f(100)))________ f(f(f(f(f(100)))))=________________________, т.к.f( f(f(f(100))))______

б)                                                                              Рис.1

 

 

 

 

 

 

 

 

Д4.2

1) Выясните, являются ли следующие функции биекциями, где  f(x)=x⁴. Постройте графики этих функций на указанных множествах.

 

 

а) f: (-∞;-1)→(1;+∞)	б) f: (-∞;1)→(0;+∞),
Ответ:

 

2) Укажите функцию f(x): [0;]→[0;1], которая является биекцией.

     Постройте ее график в системе координат (рис.2).

Ответ: f(x)=______________________   Рис.2

3) Для функции у= укажите промежуток, на котором она является биекцией. Постройте ее график в системе координат (рис.3).

у=                -1                  1                     у= Функция является биекцией при х……….

Рис.3

 

Д4.3

1) Найдите функцию, обратную для функции у=.  Постройте графики самой функции и обратной ей на одном чертеже.

1) Нужно проверить, будет ли функция обратима, т.е. проверить: а) сюръективность:     б) инъективность:	f(x)= а) f:____→_____ f(___)=_______ функция_________________________ ____________ . функция ___________________
Вывод:  _____________________________________________________________________________
2) Нужно найти .  Для этого из равенства у=нужно  выразить переменную х:	х=_____________________________
3) Нужно переобозначить переменные:	=________________________________

4) Графики функций f(x)=  и =_______________ расположены симметрично относительно ___________________________________________________________(рис.4).

 

                                                                             Рис.4

2) Убедитесь в том, что функция  у= совпадает со своей обратной.

Решение:

 

3) Найдите для функции у=е^х+2  обратную функцию и ее область определения.

Постройте графики самой функции и обратной ей на одном чертеже (рис.5).

Решение: 1) Нужно проверить, будет ли функция обратима, т.е. проверить: а)       б)         Вывод:   2) Нужно найти :           (х)=

График:                                         Рис.5

 

Д4.4

1) Перечислите известные Вам обратные тригонометрические функции. Постройте их графики, укажите ООФ и МЗФ.

а)y=	б)y=	в)y=	г)y=
ООФ: МЗФ:	ООФ: МЗФ:	ООФ: МЗФ:	ООФ: МЗФ:
график:	график:	график:	график:

 

2) Представьте функции f(x)и g(x) в виде композиции основных элементарных функций:

       f(x)=arcsin³3^x+5;     g(x)= arctg.

Нарисуйте графики основных элементарных функций, являющихся элементами композиции (в одной системе координат), и с помощью этих графиков найдите множество значений функций f(x)и g(x).

 

а) f(x)=arcsin33x+5	б) g(x)= arctg.
1) Функции, являющиеся элементами композиции:	1) Функции, являющиеся элементами композиции:
2) Графики элементарных функций:         Ef=	2) Графики элементарных функций:     Eg=

 

3) Найдите область определения и множество значений функции y=.

область определения:             множество значений:

                                                                 

 

КД

I.  1) Для функции  укажите ее область определения и множество значений. Постройте график этой функции. Найдите .

Решение: Df=________________,Ef=_________________ f(1)=________;   f()=_______;      f(2)=___________;    f()=___________                                                                          Рис.1

 

2) Используя рисунок 1, постройте график функции  в той же системе координат, выделив его другим цветом. Найдите D_g, E_g. Сравните значения g(1), g(), g(2), g() со значениями, полученными в п.1).

Решение: Dg=____________________; Eg=_________________ g(1)=_____________; g()=___________;g(2)=___________; g()=__________________

 

II.  Запишите аналитически функции y=f(g(x)) и y=g(f(x)). Укажите их область определения и множество значений и постройте графики этих функций, если:

 

 

 

a) y=f(g(x))	б) y=g(f(x))
f:______→__________ g:______ →_________ Eg__________Df	Df__________________________ Eg

Будут ли функции f(g(x)) и g(f(x)) обратимы? Ответ обоснуйте:_________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

III.  Заданы функции:

  и  .

а) Найдите функции   и   и постройте графики этих функций.

б) Решите уравнение: =

a)
1) 3-|x|>1       =_______________ 2) 3-|x|1         =_______________   =
б) Решение: 1) при хє_____________                       2) при хє_____________                 Ответ:

 

 

 

 

 

 

Работа 6. Тест по теме

«Понятие функции одной вещественной переменной»

В заданиях 1- 9 обведите верный ответ в кружочек:

1) Выберите неравенство, содержащее неизвестную под знаком модуля, если на числовой прямой все точки х  удалены от точки 3 на расстояние, меньшее 4:

а) |x-4|<3;     б) |x-3|>4;             в) |x-3|<4;              г) |x|<4;                    д) |x-4|>3.

 

2) Решением какого неравенства является неравенство: 3<x<5?

a) |x-2|<3;     б) |x-3|>2;             в) |x-4|<1;              г)  |x-1|>2.

 

3) Выберите соответствия, являющиеся отображениями:

а) отрезку соответствует его середина;

б) отрезку соответствует центр окружности, построенной на нем как на радиусе;

в) шару соответствует его объем;

г) треугольнику соответствует центр описанной около него окружности.

 

4) Отображение из множества книг во множество натуральных чисел ставит в соответствие книге количество страниц в ней. Какими из перечисленных свойств оно обладает:

а) всюду определено;

б) сюръективно;

в) инъективно;

г) биективно?

 

5) Областью определения функции  является множество:

а)       б)  

 в)                     г).

 

6) Функции  равна функция:

а) ;  б) ;  в) ;   г) .

 

7) Если  то областью определения композиции является множество:

а)      б) ;    в) ;    г) .

 

8) Функция  является сужением функции:

а) ;         б) ;        в) ;        г) .

 

9) Даны функции: . Их композицию  задает формула:

а)             б)   

в)         г)

 

10) Запишите композицию , если .

Ответ: =

В заданиях 11- 12 обведите верный ответ в кружочек:

11) На всей своей области определения обратимы функции:

                                                                                        1, если  х>0,

а)   б)  где  (знак числа)=   0, если  х=0,

                                                                                         -1, если  х<0;

 

                                                                               0, если  х,

 в) , где (функция Дирихле)=                               

 г) ?                                                      1, если  х ;

  12) Отображение  задано формулой:. Тогда обратное к нему отображение можно записать в виде:

а)                       б)

в)                      г)               

13) Отображение задано графиком (рис. 1). На каком множестве оно определено, какие значения принимает? Является ли оно обратимым и, если да, на каком множестве определено обратное отображение и какие значения оно принимает?

                      y

                  7

                  6

 

       5 

 

                   4

 

       3

 

       2

 

                   1

                   

 

                   0       1      2       3      4       5                   x     

 

                            Рис.1

14) Запишите область определения функций, заданных графически на рис. 2 а)-г).

                                                                              Рис.2

Ответ: а)-_________________; б)-___________________;                в)-_________________; г)-___________________.

 

15) Найдите все натуральные значения n, при которых верно неравенство: ,и докажите его при найденных значениях n. Укажите метод доказательства.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

 

Доказательство: 1)     2)                           3) Согласно__________________________________________________________________ неравенство верно для любого номера n__________.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТЫ:

Ответы к ТДО 1:

 

Д 1.1    1) для любого действительного числа; а) х-3, при х3; 3-х, при х3;

б)   по свойству: .

2) а) х²-3, при х х; 3-х², при ;

    б) 4^х-0,25 при х; 0,25-4^х при х<-1;

    в) log₄x-0,5 при х; 0,5- log₄x при х<2.

3) а) х-1; б) 3х-1 по опр.модуля.

 

Д1.2    1) а) х=;      б) х₁=3,5; х₂=2,5;       в) 2,5;        г) x>3,5; x<2,5

2) а)                                       в)                                       

            -b      b                                a-ε      a+ε

     б)                                      г)                               

               -b       b                           a-ε            a+ε

3)а)  и , геом. смысл-смотрите п.2в; б) аналогично.

 

Д1.3 1) а) 4; б) 3; в) 2, х=5; г) 1, х₁=5; х₂=1.

2)  1) х₁=0; х₂=3;  2)   3) 4) х=1

3) а) х5; б) х=, при ; , при ; в) х>-2.

 

Д1.4  1)   ;    2) , f(0)=1, f()=1, f(1)=, f(-)=0;

Графики:    1)                                      2)                                             3)

    

 

 

 

 

 

 

Ответы к ТДО 2:

Д 2.1    1) 1) n=1: л.ч.=1, пр.ч.= 1,  1=1-верно

                 2) n=k, т.е. 1+2+2²+…+2^k-1=2^k-1- верно

                    n=k+1, т.е. 1+2+2²+…+2^k-1+2^k =2^k+1-1-нужно показать

л.ч.= 1+2+2²+…+2^k-1+2^k =2^k-1+2^k=22^k-1=2^k+1-1=пр.ч. (подчеркнута гипотеза). Равенство верно при n=k+1. 3) Согласно ПМИ равенство справедливо .

2) а)  (геом. прогрессия), 

б)

а)	б)
1) n=1: , b1= b1-верно	1) n=1: л.ч.=S1=b1; пр.ч.= = b1 b1= b1-верно
2) Допустим, что утверждение верно при n =k,
т. е.	т. е.
Покажем, что утверждение верно при n = k+1,
т. е.	т. е.
л.ч.=   =пр.ч.	л.ч.== =…==пр.ч.
Утверждение верно при n = k+1
3) Согласно принципу математической индукции утверждения справедливы .

3)

а) 3n >n2 при всех	б) (10n +18n-1) кратно 27 при всех
1) n=1: 3>1-верно	1) n=1: (10n +18n-1)=10+18-1=2727-верно
2) Допустим, что утверждение верно при n = k,
т. е. 3k >k2	т. е. (10k +18k-1) кратно 27
Покажем, что утверждение верно при n = k+1,
т. е. 3k+1 >(k+1)2	т. е. (10k+1 +18(k+1)-1) кратно 27
л.ч.= 3k+1=33k>3 k2; пр.ч.= (k+1)2= k2+2k+1; сравните 3 k2  и k2+2k+1 при k.	л.ч.=10k+1+18(k+1)-1=10k10+18k+17=10k10+18k+ +162k-1+18-10+10-162k=(10k10+180k-10)+27-162k= =10(10k +18k-1)+27(1-6k) кратно 27               27              27
Утверждение верно при n = k+1.
3) Согласно принципу математической индукции утверждения справедливы .

 

Ответы к ТДО 3:

Д 3.1    1) 1- является отображением; 2, 3 не являются отображениями: в 2 не выполняется функциональность, в 3 – всюду определенность.

2) Функция (по опр.), f(-1)=-1, f(0)=0, f(0,5)=0,25, f(1)=-1, f(1,5)=-1,5

    

3) а, б.

а)   б)          в)   

Д3.2 1) а); б); в)- функции при ; г)- функция при

а)                                                б)                                          в)                                            г)

         2) а) ;    б)

 

 

 

 

 

Д3.3 1) например,             2) ,   ;           3) ООФ: , МЗФ:

                                                                                                ,   ,  

          1)                                                                                                                     3)                                                                         

 

                                                                  

   Д3.4

1) а), б) на Х

    а)                                          б) 

2)  при

     при

3) графики совпадают в точке , если х=0, то f(x)=g(x)

Д3.5  1)                                    2) D_f=, E_f=     3) использовать графический метод

       

Ответы к ТДО 4:

Д4.1   1)g:, f: , (gf)(x)=g(f(x))=3cosx, (fg)(x)=f(g(x))=cos3x, (gf)(, (fg)

2)a) f(x)=(kh)(x), h(x)=x+3: , k(h)=: , g(x)=(st)(x), t(x)=cosx:  , s(t)=3t+5: ; б) f(g(x))=, g(f(x))=3cos; в) f(g(0))=, g(f(0))=3cos

3)a) f(f(f(f(f(100))))=0, т.к. f(100)=lg100=2, f(f(100))=3, f(f(f(100)))=, f(f(f(f(100))))=1.

Д4.2 1) а) биекция, б) не является биекцией;                      2) y=sin (x/2)

        

3) биекция при х х,       

Д4.3 1) ;    2) y(x):,                            

3) ;

     Д4.3 1)

Д4.4 1) см.№13, работа5; 2)

h(x)=3x	h(x)=1/x
k(h)=arcsin h, t(k)=k3+5	k(h)=h3, t(k)=arctgk-5
f(x)=(, Ef=(5;+∞)	g(x)=(, Eg=(

 

3) D_y: ; E_y: .

Ответы к КД:

I. 1)  , , ,   ;   ;          

 2) ,  ,,    ,   ,  

  II.a) , ;    б) 

                                                                                                 ,

                             

    f(g(x)) и g(f(x)) необратимы, т.к. не инъективны

                          2-3, при -2<x<2,

III.а) f(3-)=                                       g(x)=x²-x-3; б) x; x=0, x=-1

                         5-, при  x                        ;

                                                                                         x=-2; x=2

Ответы к тесту:

1) в;  2) в;  3) а, в, г; 4) а;  5) г;  6) б;  7) в;  8) в, б;  9)г;  10), при ; 11)а, г; 12)б;

13) обл.опр.:, обл.значений:, обратное отображение определено на множестве , его обл.значений :; 14) а) (-)4;+); б) ; в); г) ; 15) метод математической индукции. Указание: представить по свойству степени  использовать предположение, что ,и сравнить  и , определив знак разности: - , учитывая, что .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебное издание

 

 

 

 

ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА  ФУНКЦИЙ

 

Рабочая тетрадь по математическому анализу

 Учебно-методическое пособие для студентов первого курса

физико-математических и технических специальностей

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор-составитель   Т. Е. Курапкина

 

Редактор Л.И. Опарина

 

 

___________________________________________________________________________

 

Подписано в печать  26. 07. 2007 г. Печать оперативная

Заказ 122

Объем 4, 9 п.л. Тираж 50 экз.

___________________________________________________________________________

 

Нижегородский государственный педагогический университет

Полиграфический участок АНО «МУК НГПУ»

603950, Нижний Новгород, ГСП -37, ул. Ульянова, 1