В.Г.Потемкин "Введение в Matlab" (v 5.3)
Глава 5. Многомерные массивы

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу \ Предметный указатель

5.3. Работа с многомерными массивами. Индексация. Переопределение размеров. Вычисления на многомерных массивах. Организация данных в многомерных массивах

Много приемов, связанных с работой с двумерными массивами, переносится на многомерные. В этом разделе описано, как применяется техника индексации и переопределения размеров к многомерным массивам.

В качестве сквозного примера будем рассматривать 3-мерный массив нормально распределенных случайных целых чисел nddata размера 4х5х3:

        nddata = fix(8*randn(4, 5, 3))
         nddata(:, :, 1) =

         nddata(:, :, 2) =

         nddata(:, :, 3) =

Индексация.

Чтобы получить доступ к элементу (3, 2) на странице 2 массива nddata, надо использовать обращение nddata(3, 2, 2).

В качестве индексов можно использовать вектор, каждый элемент которого должен быть допустимым индексом многомерного массива. Чтобы получить доступ к трем элементам (2, 1), (2, 3) и (2, 4) на странице 3 массива nddata, надо использовать обращение

            nddata(2, [1 3 4], 3)
             ans =        2     0    13

Индексация столбцов многомерных массивов. Индексация столбцов, широко применяемая в системе MATLAB, может быть распространена и на многомерные массивы.

Пример.
Чтобы получить доступ к столбцу 3 на странице 2 массива nddata, надо воспользоваться следующим оператором

             nddata(:, 3, 2)
             ans =

Используя индексацию столбцов, можно извлечь следующий массив размера 2х2 со страницы 1 массива   nddata:

              nddata(2:3,2:3,1)
              ans =

Индексация столбцов может быть использована как в правой, так и в левой частях оператора присваивания.

Пример.
Сформируем 2-мерный массив С размера 4х4, заполненный нулями:

                 C = zeros(4, 4)
                  C =

Теперь разместим в центре массива С подмассив nddata(2:3, 1:2, 2) размера 2х2, извлеченный из многомерного массива nddata:

                  C(2:3, 2:3) = nddata(2:3, 1:2, 2)
                  C =

Неоднозначность многомерной индексации. Некоторые типы операторов присваивания, например, A(:, :, 1) = 1:10, в случае многомерных массивов не обеспечивают однозначности, поскольку не содержат достаточной информации для выполнения оператора присваивания. В данном случае делается попытка присвоить 1-мерный массив 2-мерному подмассиву массива А. Система MATLAB в таких случаях выдает сообщение об ошибке. Чтобы обеспечить однозначность, необходимо убедиться, что данные и массив-адресат имеют согласованные размеры.

Пример.
Правильное присваивание:

                  A(1, :, 1) = 1:10
                  A =   1   2   3   4   5   6    7   8   9   10

Переопределение размеров.

Изменение размеров и структуры многомерного массива может происходить в двух случаях :

• при добавлении или удалении элементов;
• при переопределении размеров или размерностей, причем в этом случае общее количество элементов должно оставаться неизменным.

Для выполнения второй группы операций предназначена функция reshape, синтаксис которой для многомерного случая имеет вид

             B = reshape(A, [s1 s2 s3 ...])

где s1, s2,.... - новые значения размерностей.

Пример.
Рассмотрим переопределение размеров и размерностей для многомерного массива nddata

              B = reshape(nddata, [6 10])
              B =

              C = reshape(nddata, [5 4 3])

Рис. 5.9. 3-мерный массив размера 5х4х3.

               D = reshape(nddata, [2 3 2 5])

Рис. 5.10. 4-мерный массив размера 2х3х2х5.

Удаление размерностей размера 1х1. Система MATLAB создает размерности размера 1х1, если такая спецификация указывается точно при создании или переопределении массива, либо если в процессе вычислений возникает массив размера 1х1.

Пример.

                 B = repmat(5, [2 3 1 4])

Рис. 5.11. 4-мерный массив размера 2х3х1х4.

                   size(B)
                    ans = 2   3   1   4

Функция squeeze удаляет из многомерного массива измерение размера 1х1:

                    C = squeeze(B)

Рис. 5.12. 3-мерный массив размера 2х3х4.

                    size(C)
                    ans = 2   3   4

Замечание:

Функция squeeze транспонирует вектор-строку в вектор-столбец; вектор-столбец функция squeeze оставляет без изменения.

Перестановки размерностей. Функция permute позволяет выполнить перестановку размерностей

                     B = permute(A, dims);

где dims - вектор, который задает новый порядок следования размерностей.

При этом индекс 1 соответствует строкам, индекс 2 - столбцам, индекс 3 - страницам и т. д.

Рис. 5.13. Применение функции permute

Функция ipermute обратна по отношению к функции permute. Вводя массив A и вектор перестановок v, функция ipermute формирует такой массив B, что функция permute(B, v) возвращает A.

Пример.
В результате выполнения следующих операторов формируется массив E, который совпадает с исходным массивом C:

                D = ipermute(C, [1 4 2 3])
                E = permute(D, [1 4 2 3])

а)

б)

Рис. 5.14. Применение функции ipermute:
                  а) - D = ipermute(C, [1 4 2 3]);
                  б) - E = permute(D, [1 4 2 3])

Обратите внимание, что функции permute и ipermute используют один и тот же вектор перестановок.

Вычисления на многомерных массивах.

Многие функции системы MATLAB допускают использование многомерных массивов в качестве входных аргументов. Есть функции, которые могут использовать только отдельные размерности, соответствующие матрицам, векторам или отдельным элементам.

Функции, работающие с векторами. Функции, использующие векторы, такие как sum, mean, по умолчанию используют в качестве аргумента первую размерность многомерного массива, значение которой не равно 1. Большинство таких функций позволяют пользователю указать ту конкретную размерность, которую надо использовать в качестве входа. Однако есть и некоторые исключения. Например, функция cross использует в качестве входного аргумента первую размерность с длиной вектора, равной 3.

В ряде случаев могут возникать и другие ограничения на входные аргументы. Например, может потребоваться, чтобы массивы имели одинаковые размеры. В любом случае это означает, что при работе с многомерными массивами надо внимательно следить за требованиями, которые предъявляет используемая функция к входным аргументам.

Функции, работающие с отдельными элементами. Функции системы MATLAB, которые оперируют с отдельными элементами двумерного массива, будут точно также работать и с элементами многомерного массива. В первую очередь, это все элементарные функции. Например, функция sin всегда возвращает массив того же размера, как и массив входа. Каждый элемент выходного массива является синусом соответствующего элемента входного массива.

Точно также операторы отношения и логические операторы используют отдельные элементы многомерного массива. Если один из операндов - скаляр, а другой массив, то исполняемый оператор сопоставляет скаляр с каждым элементом массива.

Функции, работающие с матрицами. Функции линейной алгебры и матричные функции из каталога matfun не допускают многомерные массивы в качестве входных аргументов. Если такое происходит, то появляется сообщение об ошибке.

Использовать такие матричные функции можно только по отношению к двумерным подмножествам многомерного массива.

Пример.
Сформируем 3-мерный массив A, состоящий из трех 2-мерных массивов размера 3х3:

             A = cat(3, [1 2 3; 9 8 7; 4 6 5], [0 3 2; 8 8 4; 5 3 5],…
                          [6 4 7; 6 8 5; 5 4 3])

Рис. 5.15. 3-мерный массив размера 3х3х3.

Применение функции вычисления собственных значений eig к массиву в целом вызовет ошибку:

               eig(A)
               ??? Error using ==> eig
               Input arguments must be 2-D.
               Входные аргументы должны быть 2-мерными

Однако ее можно применять к 2-мерным множествам.

Пример.
Вычислим собственные значения для второго из трех массивов:

               eig(A(:, :, 2))
                ans =

Для того чтобы вычислить собственные значения для матрицы, составленной из вторых строк каждого массива, надо использовать функцию squeeze, которая преобразует 3-мерное подмножество A(2, :, :) размера 1x3x3 в матрицу размера 3x3.

Функция eig(A(2, :, :)) выдает ошибку

                  eig(A(2,:,:))
                  ??? Error using ==> eig
                  Input arguments must be 2-D.
                  Входные аргументы должны быть 2-мерными

Функция eig(squeeze(A(2, :, :))) вычисляет собственные значения (но не собственные векторы - вспомните о транспонировании строк при использовании функции squeeze) абсолютно правильно

                   eig(squeeze(A(2, :, :)))
                   ans =

Организация данных в многомерных массивах.

Существует два подхода к тому, как организовать данные в многомерный массив:

1. Страничная интерпретация. В этом случае за основу берутся 2-мерные массивы, которые считаются размещенными на страницах. Множество таких страниц может затем быть организовано в 3-мерные, 4-мерные и т. д. массивы.
2. Пространственная интерпретация (многомерные данные). В этом случае рассматриваются измерения физических величин (температуры, давления и т. п.) в точках трехмерного пространства.

Первый подход использовался на протяжении всего раздела. Второй может представлять интерес при решении уравнений в частных производных, а также физических задач и измерений.

Применение последнего подхода проиллюстрируем на примере измерения температуры в равноотстоящих точках в пределах некоторого объема. В этом случае каждое измерение привязано к определенной точке 3-мерного пространства и такие данные могут быть организованы в 3-мерный массив (рис. 5.16):

рассмотрим 3-мерный массив TEMP

Рис. 5.16. Массив TEMP размера 3x3x3.

Для вычисления среднего значения температуры в этом объеме можно использовать оператор mean(mean(mean(TEMP))).

Для вычисления значений температуры посередине этого объема - элементы (2, 2) на каждой странице - надо применить оператор B = TEMP(2, 2, :).

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу \ Предметный указатель