С.Д.Штовба "Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику"

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

14. Принятие решений в нечетких условиях по схеме Беллмана - Заде

В 1970 году Беллман и Заде опубликовали статью "Decision - Making in Fuzzy Environment" [1, русский перевод - 2], которая послужила отправной точкой для большинства работ по нечеткой теории принятия решений. В той статье рассматривается процесс принятия решений в условиях неопределенности, когда цели и ограничения заданы нечеткими множествами. Принятие решения - это выбор альтернативы, которая одновременно удовлетворяет и нечетким целям, и нечетким ограничениям. В этом смысле, цели и ограничения являются симметричными относительно решения, что стирает различия между ними и позволяет представить решение как слияние нечетких целей и ограничений. В настоящем разделе излагаются основы теории принятия решений в нечетких условиях по схеме Беллмана-Заде с примерами нечеткого многокритериального анализа вариантов при равновесных и неравновесных критериях. При написании разделы использованы источники [2-6].

14.1.Нечеткие цели, ограничения и решения

Пусть  - множество альтернатив. Нечеткую цель будет отождествлять с нечетким множеством в X. Например, если альтернативами являются действительные числа, т.е. , а нечеткая цель сформулирована как "x должно быть около 10", то ее можно представить нечетким множеством с такой функцией принадлежности:

.

(14.1)

Аналогичным образом нечеткое ограничение определяется как некоторое нечеткое множество на универсальном множестве X. Например, нечеткое ограничение "x должно быть значительно больше 8" при можно представить нечетким множеством с такой функцией принадлежности:

,

(14.2)

Нечеткое решение также определяется как нечеткое множество на универсальном множестве альтернатив X. Функция принадлежности этого нечеткого множества показывает насколько хорошо решение удовлетворяет нечетким целям И ограничениям. Логической операции И, которая связывает цели и ограничения, соответствует операция пересечения нечетких множеств. Следовательно, решение - это пересечение нечеткой цели с нечетким ограничением:

.

(14.3)

Пример 14.1. Нечеткая цель и нечеткое ограничение сформулированы так:

: "x должно быть около 10"   и   : "x должно быть значительно больше 8".

Функции принадлежности нечетких множеств и заданы выражениями (14.1) и (14.2). Необходимо найти нечеткое решение .

Нечеткое решение найдем по формуле (14.3). Учитывая, что пересечению нечетких множеств соответствует операция минимума над функций принадлежности, получаем:

.

Взаимосвязь между нечеткими целью, ограничением и решением показана на рис. 14.1. Цель и ограничения конфликтуют между собой, поэтому в нечетком множестве нет ни одного элемента со степенью принадлежности равной 1. Значит, не существует альтернативы, которая полностью удовлетворяет и цели, и ограничению. В качестве четкого решения в таких случаях обычно выбирают альтернативу с максимальной степенью принадлежности нечеткому множеству .

Рис. 14.1 - К примеру 14.1: принятие решения по принципу Беллмана-Заде

При принятии решений по схеме Беллмана-Заде не делается никакого различия между целью и ограничениями. Всякое разделение на цель и ограничения является условным: в формуле (14.3) можно поменять местами цель с ограничением, при этом решение не изменится. В традиционной теории принятия решений подобные замены функции предпочтения на ограничение недопустимы. Однако, и здесь прослеживается некоторое скрытое сходство между целями и ограничениями. Оно становится явным при использовании метода неопределенных множителей Лагранжа и штрафных функций, когда цель и ограничения объединяются в одну функцию.

В общем случае, когда имеется n целей и m ограничений, результирующее решение по схеме Беллмана-Заде определяется пересечением всех целей и ограничений:

,

и соответственно

.

До сих пор предполагалось, что все цели и ограничения, входящие в , имеют одинаковую важность. Более привычная ситуация, в которой удовлетворение одним целям и (или) ограничениям, важнее чем другим. Обозначим через  - коэффициент относительной важности i-ой цели, а через  - коэффициент относительной важности j-го ограничения . Тогда функцию принадлежности решения определяется так:

(14.4)

Чем меньше коэффициент относительной важности, тем соответствующее нечеткое множество цели или ограничения становится более размазанным, и, следовательно, его роль в принятии решения снижается. На рис. 14.2 приведены нечеткие решения при различных коэффициентах важности цели и ограничения из примера 14.1.

Рис. 14.2 - К примеру 14.1: принятие решений при разной важности цели и ограничения

14.2. Нечеткий многокритериальный анализ вариантов

Будем считать известными:

 - множество вариантов, которые подлежат многокритериальному анализу;

 - множество количественных и качественных критериев, которыми оцениваются варианты.

Задача многокритериального анализа состоит в упорядочивании элементов множества X по критериям из множества G.

Пусть - число в диапазоне [0,1], которое характеризирует уровень оценки варианта по критерию : чем больше число , тем выше оценка варианта по критерию , , . Тогда критерий можно представить в виде нечеткого множества на универсальном множестве вариантов X:

,

(14.5)

где - степень принадлежности элемента нечеткому множеству .

Находить степени принадлежности нечеткого множества (14.5) удобно методом построения функций принадлежности на основе парных сравнений . При использовании этого метода необходимо сформировать матрицы парных сравнений вариантов по каждому критерию. Общее количество таких матриц совпадает с количеством критериев и равняется n.

Наилучшим вариантом будем тот, который одновременно лучший по всем критериям. Нечеткое решение находится как пересечения частных критериев:

.

(14.6)

Согласно с полученным нечетким множеством ‚ наилучшим вариантом следует считать тот‚ для которого степень принадлежности является наибольшей.

При неравновесных критериях формула (14.6) принимает вид:

,

(14.7)

где  - коэффициент относительной важности критерия , .

Показатель степень в формуле (14.7) свидетельствует о концентрации нечеткого множества в соответствии с мерой важности критерия . Коэффициенты относительной важности критериев могут быть определены различными методами, например, с помощью парных сравнений по шкале Саати.

14.3. Нечеткий многокритериальный анализ инновационных проектов

В качестве примера принятия решений в нечетких условиях по схеме Беллмана - Заде рассмотрим сравнение технико-экономического уровня трех проектов (), направленных в инновационный фонд с целью получения финансирования [6].

Для оценки технико-экономического уровня проектов воспользуемся такими критериями:

- масштаб проекта;

- новизна проекта;

- приоритетность направления;

- степень проработки;

- правовая защищенность;

- экологический уровень.

При экспертном сравнении проектов по критериям были получены лингвистические высказывания, показанные в табл. 14.1.

Таблица 14.1 - Парные сравнения проектов по шкале Саати

Этим экспертным высказываниям соответствуют следующие матрицы парных сравнений:

;

;

;

;

;

.

В этих матрицах полужирным шрифтом выделенные элементы, которые соответствуют парным сравнениям из табл. 14.1. Остальные элементы найдены в предположении о согласованости парных сравнений, т.е. с учетом того, что матрица парных сравнений является диагональной и обладает свойствами транзитивности и обратной симметричности (подробнее см. раздел 13 ).

Применяя формулу (13.5) к матрицами парных сравнений‚ получаем следующие нечеткие множества:

,

,

,

,

,

.

Теперь по формуле (14.6) получаем:

,

что свидетельствует о существенном преимуществе проекта над проектом , а также о слабом преимуществе проекта над проектом .

Предположим, что критерии являются неравновесными. Для определения рангов критериев воспользуемся методом парных сравнений. Пусть заданы следующие лингвистические высказывания о важности критериев:

• почти существенное преимущество над ;

• явное преимущество над ;

• слабое преимущество над ;

• почти слабое преимущество над ;

• отсутствие преимущества над .

Этим экспертным высказываниям соответствует следующая матрица парных сравнений:

.

Применяя формулу (13.5), определим ранги критериев :

; ; ; ; ; ,

что означает наибольшую важность приоритетности направления () и степени проработки проекта (). По формуле (14.7) получаем такие нечеткие множества:

;

;

;

;

;

.

В результате пересечения нечетких множеств получаем:

,

что свидетельствует о существенном преимуществе проекта над проектами и , а также о слабом преимуществе проекта над проектом .

Литература

1. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision-Making in Fuzzy Environment // Management Science. vol. 17. - 1970. -- №4. - P.141 - 160.

2. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях. В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир - 1976. - С.172-215.

3. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Радио и связь, 1981. - 286 с.

4. Zimmermann H.-J. Fuzzy Set Theory and its Applications. 3rd ed.- Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.- 1996. 315p.

5. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети. - Винница: УНИВЕРСУМ-Винница, 1999. - 320 с.

6. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Нечеткий многокритериальный анализ вариантов с применением парных сравнений  // Известия РАН. Теория и системы управления.- 2001.- №3.- С.150-154.

   В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу