Е.В.Никульчев. Пособие "Control System Toolbox"
Устойчивость линейных систем

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Краткие сведения из теории

Рассмотрим линейную систему

. (1)

Система управления называется устойчивой по Ляпунову, если при ненулевых ограниченных начальных условиях свободное движение ограничено.

Согласно определению, динамическая система асимптотически устойчива, если для любого начального состояния x(0) = x₀, ее решение х(t, x₀) стремится к нулю по норме, при t® ¥ .

Существует большое количество критериев, являющихся достаточным условием устойчивости. Для линейных систем устойчивость системы являются асимптотически устойчивыми.

Мощным инструментом исследования устойчивости динамических систем является метод функций Ляпунова. Для линейных автономных систем существование функции Ляпунова в виде квадратичной формы является одновременно необходимым и достаточным условием равномерной асимптотической устойчивости в целом.

Рассмотрим линейную стационарную систему

(2)

Допустим, что нам удалось найти функцию Ляпунова: V(x)=x^TQx, где Q – симметричная и положительная определенная матрица. Тогда

(3)

Обозначим

= – С, (4)

тогда, поскольку С положительно определенна, то система асимптотически устойчива в целом. Более того, т.к.

,

то матрица С симметрична.

На практике целесообразно решать обратную задачу. Выбирают какую-либо положительно определенную положительную матрицу, например C = I. Тогда из (4) можно получить Q. Если квадратичная форма Q оказывается неопределенной (знакопеременной), то по теореме Ляпунова о неустойчивости начало координат неустойчиво. Если Q положительно определена, то поскольку система линейна и стационарна, начало координат асимптотически устойчиво в целом. Обоснованность такого анализа зависит от того, определяет ли уравнение (4) однозначно матрицу Q, если задана симметричная и положительная С.

Справедливы следующие утверждения:

1. Если n собственных значений l ₁, …, l _n матрицы A таковы, что l _i+l _j ¹  0 (), то из уравнения (4.4) при заданной матрице С матрица Q определяется однозначно. (Достаточное условие устойчивости матрицы А).
2. Если матрица А устойчива и матрица С положительно определена, то матрица Q также положительно определена. (Необходимое условие устойчивости матрицы А).

Рассмотрим, например дискретную управляемую систему, описываемую конечно-разностными уравнениями в пространстве состояний

x(k+1) = A(k) x(k) + B(k) u(k), (),

и, пусть известна матрица K, определяющая закон управления u = Kx. Требуется определить асимптотическую устойчивость систему с полной обратной связью.

Система асимптотически устойчива в том и только том случае, если решение Г, являющееся (n´ n)-матрицей, уравнения Ляпунова

, (5)

является положительно-определенной матрицей. Здесь H – произвольная положительно-определенная симметричная матрица. Для определенности в уравнении (4.5) матрицу H можно положить единичной.

Для установления положительной определенности симметричной матрицы Г можно воспользоваться критерием Сильвестра: D _i > 0 для , где D _i – миноры i-го порядка матрицы Г.

Описание функций

Для определения асимптотической устойчивости линейных стационарных систем в Control System Toolbox имеются функции вычисления решений уравнений Ляпунова.

Таблица. Функции

Control System Toolbox

Функция

Q = lyap(A, С)

находит решение системы уравнений Ляпунова вида (4.4).

Функция

Q = lyap(A, X, Y)

находит решение уравнений Сильвестра (обобщенных уравнений Ляпунова) вида:

.

Функции решения непрерывных уравнений Ляпунова выдают результат только в случае единственности решения, т.е. в случае, когда собственные значения матрицы A и собственные значения матрицы X для всех (i, j) удовлетворяют условию

.

Функция

Г = dlyap(A, H)

находит решение системы уравнений Ляпунова вида (4.5). Результат решения уравнений Ляпунова для дискретных систем выдается только в случае единственности решения, т.е., когда собственные значения матрицы A для всех (i, j) удовлетворяют условию

.

Пример

Задана система управления, описываемая конечно-разностными уравнениями в пространстве состояний

x(k+1) = A(k) x(k) + B(k) u(k), (),

и известна матрица K, определяющая закон управления u = Kx, .

1. Зададим матрицы, определяющие систему:

>> A=[1 2; -3 4]
A =
    1    2
   -3    4

>> B= [1 2]'
B =
    1
    2

>> L=[2 1]
L =
    2    1

2. Определим решение уравнения Ляпунова

>> G=dlyap(A, eye(2))
G =
    -0.2211    -0.1215
    -0.1215    -0.1285

3. Произведем расчет главных миноров

>> det(G(1:1, 1:1))
ans =
    -0.2211

>> det(G)
ans =
    0.0136

По критерию Сильвестра решение не является положительно-определенной матрицей, следовательно, система не является асимптотически устойчивой. График свободного движения системы при начальных условиях показан на рис. 1 и 2.

Рис. 1. x₁(k).

Рис. 2. x₂(k).

4. Аналогично можно определить свойство асимптотической устойчивости в управляемой системе.

>> G=dlyap(A+B*L, eye(2))
G =
   -0.2563    0.0833
    0.0833    -0.0498

>> det(G)
ans =
    0.0058

>> det(G(1:1, 1:1))
ans =
    -0.2563

По критерию Сильвестра решение дискретного уравнения Ляпунова не является положительно-определенной матрицей, следовательно, система не является асимптотически устойчивой. График динамики управляемой системы при начальных условиях показан на рис. 3 и 4.

Рис. 3. x₁(k).

Рис. 4. x₂(k).

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу