Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (28-29 мая 2002 г.). М.: ИПУ РАН. 2002. 207 С.: Ил.

Изучение теории линейных электрических цепей с помощью системы MATLAB

Шмелёв В.Е.
Владимирский государственный университет, г. Владимир

Современная теория линейных электрических цепей базируется на матричных методах их численного и символьного расчёта. Преимущество матричных методов заключается в их универсальности. Вычислительные алгоритмы, основанные на этих методах, позволяют проводить расчёты электрического состояния цепей практически неограниченной сложности.

На кафедре “Электротехника и электроэнергетика” Владимирского государственного университета разработан учебный вычислительный сценарий анализа линейной цепи произвольной сложности. Этот сценарий поддерживает три “экономичных” матричных метода: метод узловых потенциалов, метод напряжений ветвей дерева, метод контурных токов. Эти три метода основаны на одних и тех же матричных соотношениях с разной системой обозначений.

Студенты используют этот вычислительный сценарий при выполнении расчётно-графических работ и расчётной части лабораторных работ по теоретическим основам электротехники (теория линейных электрических цепей). Самостоятельной частью работы студентов является выполнение следующих операций: 1) составление и ввод топологической матрицы, матриц источников и импедансных (или адмитансных) параметров ветвей; 2) ручное составление узловых либо контурных уравнений или уравнений с напряжениями ветвей дерева; 3) сравнение этих уравнений с уравнениями, полученными ЭВМ; 4) эквивалентное прямое и обратное преобразование ветвей с идеальными источниками ЭДС и тока; 5) расчёт средствами MATLAB баланса мощностей.

Названные выше “экономичные” методы анализа линейных электрических цепей основаны на следующих матричных соотношениях:

[Y^(у)][j ^(у)] = [J^(у)]; [Y^(с)][U^{(¶ )}] = [J^(с)]; [Z^(к)][I^(к)] = [E^(к)],

где [Y^(у)]=[A][Y^(в)][A].’ – матрица узловых адмитансов;
[j ^(у)] – матрица узловых потенциалов;
[J^(у)]=[A]([J^(в)]–[Y^(в)][E^(в)]) – матрица узловых источников тока;
[Y^(с)]=[Q][Y^(в)][Q].’ – матрица адмитансов главных сечений;
[U^{(¶ )}] – матрица напряжений ветвей дерева;
[J^(с)]=[Q]([J^(в)]–[Y^(в)][E^(в)]) – матрица источников тока главных сечений;
[Z^(к)]=[B][Z^(в)][B]’ – матрица контурных импедансов;
[I^(к)] – матрица токов ветвей связи (контурных токов);
[E^(к)]=[B]([E^(в)]–[Z^(в)][J^(в)]) – матрица контурных ЭДС.
[A], [Q], [B] – топологические матрицы:
[A] – матрица узловых соединений,
[Q] – матрица главных сечений,
[B] – матрица главных контуров.
[Y^(в)] – матрица адмитансов ветвей;
[Z^(в)] – матрица импедансов ветвей, причём [Y^(в)]=[Z^(в)]^–1.
[E^(в)] и [J^(в)] – матрицы источников ветвей.

Для удобства вычислений автором разработана m-функция вычисления матриц [Q], [B] по известной матрице [A].

Остальные параметры состояния электрической цепи определяются по известным в теории линейных электрических цепей матричным соотношениям (топологические соотношения, законы Ома и Джоуля-Ленца в матричной форме). Расчёт баланса мощностей сводится к суммированию средствами MATLAB мощностей, генерируемых источниками, и мощностей, потребляемых всеми пассивными участками ветвей.

Разработанный автором вычислительный сценарий обладает достаточной большой степенью универсальности: он позволяет анализировать установившиеся постоянные и синусоидальные режимы, а также периодические несинусоидальные режимы при использовании метода разложения токов и напряжений в ряд Фурье. Более того, при подключении к сценарию пакета Symbolic Math Toolbox можно проводить аналитические расчёты. При расчёте синусоидальных режимов имеется средство построения векторных и топографических диаграмм.

Возможность подключения пакета Symbolic Math Toolbox позволяет также с помощью этого же вычислительного сценария рассчитывать переходные (непериодические) процессы в линейных электрических цепях операторным методом. В этом случае аналитические выражения для искомых функций времени определяются функцией ilaplace этого пакета.