Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (28-29 мая 2002 г.). М.: ИПУ РАН. 2002. 207 С.: Ил.

Иллюстрирующая программа решения аналитических дифференциальных уравнений второго порядка методом малого параметра пуанкаре

Кулинич М.В.
Гимназия 38, г. Дзержинск

Целью доклада является иллюстрация возможностей пакета Symbolic Mathematics Toolbox для нахождения решений методом малого параметра аналитических дифференциальных уравнений.

В качестве иллюстрирующего примера рассматривается задача Коши для уравнения второго порядка

                                (1)
,                                    (2)

для которого, используя теорему о разложимости Пуанкаре [1], находится как решение в виде разложения в ряд по малому параметру m , так и периодическое решение методом Линдстедта–Пуанкаре [2], исключающее появление секулярных членов в решении.

Реализация базируется на двух идеях:

1. Масштаб времени t деформируется таким образом, чтобы частота результирующего периодического решения зависела от малого параметра m . Для этого вводится новое время t = w t, где w - искомая частота периодического решения x(t) исходного уравнения, зависящая от m . В этом новом масштабе времени период искомых колебаний равен 2p , т. е. в этом масштабе времени частота и период искомых колебаний не зависят от m .
2. Правые части уравнений k-го приближения используются для уточнения или нахождения коэффициентов предыдущих приближений, основываясь на периодичности этих приближений по t. Эта же связь приближений используется для удовлетворения начальным условиям или их нахождения.

В иллюстрирующем пакете программ для нахождения решения методом малого параметра правая часть уравнения (1) должна выбираться в виде многочлена по переменным ().

Для облегчения использования пакета написана интерфейсная часть с вводом информации в естественной форме.

Результаты найденного аналитического решения выводятся в графическое окно, а также сравниваются с численным решением, полученным с использованием функции ode45. Информация о максимальной степени разложения по малому параметру m , интервале интегрирования и правой части уравнения задается из графического окна.

Литература

1. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк.,1991. 303с.
2. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Учебное пособие. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1995. 429с.