Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (28-29 мая 2002 г.). М.: ИПУ РАН. 2002. 207 С.: Ил.

Применение линейных матричных неравенств в среде MATLAB для синтеза управления со статической обратной связью по выходу

Пакшин П.В., Рябов А.В.
Арзамасский филиал Нижегородского государственного технического университета, г. Арзамас
,

Задача синтеза линейного стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу, несмотря на ее внешнюю простоту, до сих пор остается не решенной до конца [1]. В работе [2] получены необходимые и достаточные условия существования такого управления для систем с непрерывным временем. Показано, что оно может быть найдено в результате решения стандартной задачи линейного оптимального управления с квадратичным функционалом при некоторых дополнительных ограничениях.

В данной работе с использованием результатов [2] предлагается конструктивный алгоритм синтеза управления со статической обратной связью по выходу на основе линейных матричных неравенств, который реализован с помощью LMI Toolbox. Дается обобщение на случай систем с дискретным временем.

Рассматривается система управления, описываемая уравнениями:
,                (1)
где x – вектор состояния; u – вектор управления; y – вектор выхода (измерений), A, B, C – постоянные матрицы соответствующих размеров; без потери общности будем считать, что матрица C имеет полный ранг.

Задача состоит в нахождении управления со статической обратной связью по выходу
,                      (2)
обеспечивающего асимптотическую устойчивость системы (1). Предлагается следующий алгоритм решения этой задачи.

Найти матрицы такие, что

при ограничениях в виде следующих линейных уравнений и неравенств:

, ,

,,

,

где ; заданные положительно определенные матрицы. Матрица в (2) находится по формуле:

Аналогичный алгоритм получен для систем с дискретным временем.

Результаты вычислений, проведенных с использованием LMI Toolbox, обращают на себя внимание тем, что в исходной постановке решение найти не удалось. В то же время при дополнительном ограничении и при тех же числовых данных решение находилось практически всегда, хотя очевидно, что тем самым область допустимых решений сужалась. Строгого математического объяснения этому факту пока не найдено и можно лишь предположить, что он отражает определенное несовершенство алгоритма в LMI Toolbox.

Литература

1. Syrmos V. L., Abdallah C. T., Dorato P. and Grigoriadis K. Static output feedback – A survey //Automatica. Vol.33. 1997. P. 125-137.
2. Trofino-Neto A. and Kucera V. Stabilzation via static output feedback //IEEE Trans. Automat. Control. Vol. 38. 1993. P.764-765.