Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (28-29 мая 2002 г.). М.: ИПУ РАН. 2002. 207 С.: Ил.

Метод построения дискретных моделей непрерывных динамических систем

Макарычев П.П.
Пензенский государственный университет, г. Пенза

В системе MATLAB для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) имеются встроенные функции ode23 и ode45. Поэтому непрерывная модель представляется как система дифференциальных уравнений 1-го порядка в явной форме Коши

где X – вектор состояний; t – время; f – вектор-функция.

При моделировании сложных динамических систем решение ОДУ в этой форме приводит к построению неустойчивых разностных схем. Для устранения этого недостатка можно использовать разложение передаточной функции системы (подсистемы) W(s) на простые дроби

где r – вектор-столбец вычетов; a - вектор-столбец полюсов; s – комплексная переменная. Однако разложение функции W(s) на простые дроби плохо обусловлено.

В работе предлагается метод построения дискретных моделей, основанный на представлении функции W(s) в следующем виде

                       (1)

где b – вектор-столбец нулей. Осуществить представление (1) можно с использованием функции roots(p), где p – вектор-строка коэффициентов полинома a(s) и b(s). При n = 3, m = 2 система уравнений первого порядка представляется следующим образом:

                       (2)

При x(t) = 1(t) первое уравнение системы (2) имеет решение

Если принять шаг t  > 0, то разностную схему для первого уравнения системы (2) можно записать в виде:

,

где , . Аналогично строятся разностные схемы для других уравнений системы (2). Исследование устойчивости разностной схемы показывает, что она обладает абсолютной устойчивостью (устойчива при всех t  > 0).

В работе приводятся примеры построения моделей и моделирования поведения динамических систем с применением системы MATLAB.