Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (28-29 мая 2002 г.). М.: ИПУ РАН. 2002. 207 С.: Ил.

Спектральная идентификация регулярной динамики в модели стохастического резонанса

Кухаренко Б.Г.
Институт машиноведения РАН, г. Москва

Классической задаче исследования колебаний нелинейного осциллятора с бистабильным потенциалом посвящено большое число работ. В последнее время это связано с исследованием явления стохастического резонанса [1]. Понятие стохастического резонанса введено для описания явления в бистабильной системе, подверженной одновременно периодическому и случайному воздействию: увеличение интенсивности шума может приводить к увеличению отношения сигнал/шум в отклике этой системы на медленное периодическое воздействие. Отношение сигнал/шум оказывается функцией интенсивности перескоков между двумя ямами бистабильного потенциала, которые вызываются шумом. Для нелинейного осциллятора с большим затуханием, амплитуда перескоков между ямами гораздо больше амплитуды колебаний вблизи одного из минимумов бистабильного потенциала. Таким образом происходит стохастический резонанс. Одномерный нелинейный осциллятор имеет бистабильный потенциал вида:

.

В работе [2] было показано, что стохастический резонанс может существовать в модели вида:

,

где d - линейное демпфирование; g и w ₁ - соответственно, амплитуда и круговая частота медленного гармонического воздействия; c и w - соответственно, амплитуда и круговая частота быстрого гармонического воздействия, которое определяет отклик x = x(t) нелинейного осциллятора на медленное гармоническое воздействие g cosw ₁t. Таким образом, предполагается, что быстрое гармоническое воздействие вызывает хаотический поток между двумя ямами. Во многих отношениях детерминированный хаос имеет те же свойства, что и случайный шум, поскольку хаос некоторым случайным образом производит свой собственный “эффективный шум”. Таким образом, чувствительный отклик на слабое медленное гармоническое воздействие может существовать в отсутствии шума через механизм, подобный стохастическому резонансу.

Тем не менее, в настоящей работе показано, что для нелинейного осциллятора с большим затуханием перескоки между ямами бистабильного потенциала могут быть периодическими с частотой, которая является субгармоникой частоты быстрого гармонического воздействия. Как известно, фазовое пространство системы с хаотической динамикой имеет фрактальную структуру [3]. В фазовом пространстве системы с хаотической динамикой, “стохастическое море”, принадлежащее отдельной хаотической траектории, содержит узкие области, куда эта траектория не может попасть. В такой узкой области могут существовать регулярные движения [4]. В настоящей работе такие периодические траектории были получены для модели стохастического резонанса в результате численного решения этой модели по методу Рунге-Кутты с постоянным шагом интегрирования [5]. Задача спектральной идентификации полученных периодических численных решений решается по методу Прони [6]. Этот метод дискретного спектрального анализа определяет спектр частот временного ряда с точностью, независимой от используемого шага дискретизации времени. Полюса численного решения определяются как обобщенные сингулярные числа Ганкелевой матрицы данных для этого численного решения [7]. После этого вычеты в полюсах определяются по методу наименьших квадратов [8]. Предложенный критерий кратности собственных частот позволяет строго различать периодические и почти периодические численные решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведен пример спектральной идентификации периодического численного решения модели стохастического резонанса. Показано, что частота медленного гармонического воздействия не определяет резонансную частоту, как это имело бы место в случае стохастического резонанса, а сама определяется частотой быстрого гармонического воздействия, которое в случае стохастического резонанса играло бы роль случайного фактора - шума, вызывающего периодические перескоки между двумя ямами бистабильного потенциала [1]. Поэтому, при выбранных значениях параметров d , c и w имеет место обычный резонанс, а не стохастический. До настоящего времени предполагалось, что стохастический резонанс имеет хаотическую природу. Однако, в работе [9] теоретически доказан квазипериодический характер стохастического резонанса. Численное решение рассматриваемой модели и последующий спектральный анализ этих численных решений по методу Прони позволяет подтвердить эту теорию.

Литература

1. McNamara B., Weisenfeld K. Theory of stochastic resonance //Physical Review A. 1989. V.39. № 9. P. 4854-4869.
2. Nicolis G., Nicolis C., McKernan D. Stochastic resonance in chaotic dynamics //Journal of Statistical Physics. 1993. V. 70. № 1/2. P.125-139.
3. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука. 1991. 235 с.
4. Lichtenberg A.J., Liberman M.A. Regular and stochastic motion. Applied Mathematical Science. V.38. 1983. Springer-Verlag. New York. Heidelberg. Berlin. 499 P.
5. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. М.: Вильямс. 2001. С. 465-511.
6. Weiss L., McDonough R.N. Prony's method, Z-transform, and Pade approximation. // SIAM Review. 1963. V. 5. P. 115-119.
7. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир. 1999. С. 501-503.
8. Каханер Д., Моулер К., Неш С. Численные методы и программное обеспечение. М.:Мир. 2001. С.407-447
9. Freidlin M.I. Quasi-deterministic approximation, metastability and stochastic resonance // Physica D. 2000. V.37. P. 333-352