Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (28-29 мая 2002 г.). М.: ИПУ РАН. 2002. 207 С.: Ил.

Симметрические бифуркационные многообразия динамических систем

Халин А.Л.
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва

Основа качественной теории и теории бифуркаций динамических систем обусловлена возможностью определения основных качественных особенностей поведения совокупности их интегральных траекторий. Локально динамическая система задается одномерным распределением с помощью системы дифференциальных уравнений:

,           (1)

где x = (x₁, …, x_n) – набор локальных координат в некоторой окрестности U многообразия X; a = (a₁, …, a_m) – набор локальных параметров в некоторой окрестности W R-аналитического многообразия Y размерности m; f(y, a) – гладкая векторная функция в окрестности U W R-аналитического многообразия M. Для многообразий M и X существует непрерывное отображения p: M® X, задающее таким образом локально тривиальное расслоение. Распределение интегрируемо, через любую точку многообразия X проходит максимальная интегральная кривая.

Симметрическая функция собственных значений оператора системы (1) задает аналитическое подмногообразие на многообразии параметров Y системы уравнений (1). Аналитическое многообразие X стягиваемо в точку, поэтому система уравнений для бифуркационного многообразия коразмерности один может быть получена объединением уравнений, определяющих стационарные точки и уравнения для симметрической функции собственных значений [1-2].

Основой используемого численного подхода к решению поставленной задачи послужило аналитическое возмущение матрицы Якоби системы дифференциальных уравнений и аффинная аппроксимация расширенной нелинейной системы уравнений, позволяющие использовать глобально сходящийся алгоритм нахождения бифуркационного многообразия [3-4].

В случае аналитической правой части уравнений (1) симметрическая бифуркационная функция может быть представлена единственным способом как многочлен от элементарных симметрических функций собственных значений [5]. Это позволяет использовать для вычислений алгебраические алгоритмы и дает возможность выполнения алгебраических преобразований без потери точности. Решение уравнений производились путем последовательного исключения переменных до получения уравнения, содержащего только параметры системы дифференциальных уравнений [6-7]. Процесс символьных вычислений сочетает операции вычисления результатов и факторизации, что оставляет промежуточные выражения алгебраическими.

Литература

1. Khalin A.L. Numerical Construction of an Andronov-Hopf Bifurcation Surface //The 5th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS 2001), Saint-Petersburg. Russia. July 4-6, 2001. P. 987-990.
2. Братусь А.С., Халин А.Л. Метод поиска точек бифуркации Андронова – Хопфа //ЖВМиМФ, 2002. Т. 42. № 3.
3. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных уравнений со многими переменными. М.: Мир, 1985.
4. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решение нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988.
5. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991. 352 с.
6. Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. М.: Мир. 2000. 687 с.
7. Халин А.Л. Символьное вычисление бифуркационных поверхностей систем дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью. Саранск: Средневолжское матем. общество, 2000. Препринт № 26.