Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (28-29 мая 2002 г.). М.: ИПУ РАН. 2002. 207 С.: Ил.

Расчет динамических систем управления с запаздыванием в среде MATLAB

Асмыкович И.К., Овсянников А.В.
Белорусский государственный технологический университет, г. Минск, Белоруссия

Начало исследованию функционально-дифференциальных систем с последействием было положено работами А.Д. Мышкиса, относящимся к системам с запаздывающим аргументом. В дальнейшем последовал “исследовательский взрыв” в этой области и усилиями математиков разных стран [1, 2] новое научное направление было доведено за сравнительно небольшой срок до уровня классической теории. Системы с последействием находят широкое применение в самых разнообразных областях современной науки и техники: в автоматике и телемеханике, в радиолокации, биологии и медицине (процессы размножения и распространения эпидемий), при моделировании регулируемых технологических процессов, связанных с переносом материала и тепла и многих других.

Рассмотрим основную начальную задачу для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом

           (1)

Простейшим методом решения такой задачи, то есть нахождения закона поведения системы, описываемой уравнением (1), является метод последовательного интегрирования, заключающийся в том, что решение x(t) определяется путем последовательного решения задач Коши для дифференциальных уравнений без запаздывания на интервалах, длины которых равны запаздыванию. При этом частное решение, полученное на предыдущем интервале, подставляется в правую часть уравнения на следующем этапе. Иногда таким методом удается получить общую формулу [2], но чаще всего приходится применять численные методы решения дифференциальных уравнений, при которых очень хорошо применять решатели MATLAB [3]. Но при решении уравнений с последействием методом шагов в правую часть уравнения необходимо подставлять функцию, заданную явной формулой. Для этого надо, получив численное решение дифференциального уравнения на интервале, найти по этим данным эмпирическую функцию, которая в том или ином смысле является приближенным решением.

В докладе предложена реализация метода шагов для решения систем с запаздыванием и систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа с использованием методов интерполяции и метода наименьших квадратов для подбора формул приближенного аналитического решения на интервалах. Рассмотрена зависимость решения от начальных данных и от длины запаздывания, показана возможность применения полученных результатов к задачам теории управления [4]. В заключении обсуждается возможность применения системы MATLAB к анализу и синтезу дескрипторных систем [4,5].

Литература

1. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.
2. Гноенский Л.С., Каменский Г.А, Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969.
3. Говорухин В. Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс. СПб.: Питер, 2001.
4. Медведев В.С., Потемкин В.Г. Control Systems Toolbox. MATLAB для студентов. М.: Диалог-МИФИ, 1999.
5. Varga A. A descriptor systems toolbox for MATLAB //Proc CACSD 2000 Symposium, Anchorage, Atlanta, 2000.