Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (28-29 мая 2002 г.). М.: ИПУ РАН. 2002. 207 С.: Ил.

Синтез оптимального линейного регулятора и его контроль

Афонин В.В.
Мордовский государственный университет, г. Саранск

Рассматривается решение задачи оптимальной стабилизации линейного стационарного объекта управления в виде вариационной задачи на условный экстремум. Показывается, что основная вычислительная трудность связана с нахождением собственных значений и собственных векторов заданной матрицы. Считая, что проблема собственных значений достаточно полно решена в системе MATLAB, приводится процедура синтеза оптимального линейного регулятора с квадратичным функционалом. Контроль результата синтеза осуществляется по аналитической формуле, предлагаемой автором. Применение формулы связано с матричными операциями такими, как сложение, умножение, инвертирование, транспонирование. Все перечисленные действия легко реализуются в MATLAB.

Формулировка задачи и этапы решения. Пусть модель линейного стационарного объекта управления имеет вид

                                                            (1)

где Х – n-мерный вектор состояния, U – r-мерный вектор управления, А, В – постоянные матрицы размеров nґn и nґr соответственно.

Требуется определить управление в функции координат объекта такое, что на движениях системы (1) с заданными граничными условиями вида

,                                                    (2)

квадратичный функционал

                                           (3)

где Q – симметрическая неотрицательно определенная матрица размера n ґ n, R – симметрическая положительно определенная матрица размера r ґ  r, принимал наименьшее значение.

Предполагается, что ограничений на переменные, входящие в функционал (2), не наложено. В дальнейшем решение задачи (1), (2), (3) связано с анализом матрицы A_z вида:

Приведем основные этапы решения задачи:

1. Формирование коагулированной матрицы A_z.
2. Вычисление собственных значений матрицы A_z.
3. Вычисление собственных векторов матрицы A_z.
4. Вычисление собственных значений матрицы A_z с отрицательными действительными частями.
5. Вычисление собственных векторов V_xl матрицы A_z, соответствующих отрицательным собственным значениям.
6. Выделение подматрицы собственных векторов V_x и подматрицы собственных векторов Vl , соответствующих отрицательным собственным значениям матрицы A_z (разбивка матрицы собственных векторов V_xl ).
7. Расчет матрицы K_p оптимального регулятора по формуле

Для контроля точности вычисления матрицы оптимального регулятора по рассмотренной процедуре синтеза автором предлагается использовать следующую формулу в матричном виде:

           (4)

где – единичная матрица размера r ґ r, r – размерность вектора управления в рассматриваемой задаче.

Выражение (4) можно рассматривать как условие оптимальности решения линейно-квадратичной задачи (1), (2), (3). Любая погрешность расчета или задания матриц, входящих в правую часть (4), отразится на том, что правая часть выражения (4) не будет равна левой, т.е. матрице R заданного функционала качества (2). Таким образом, выражение (4) формально связывает между собой параметры объекта (матрицы А, В), весовые матрицы (Q, R) функционала и матрицу (K_p) оптимального регулятора.