Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (28-29 мая 2002 г.). М.: ИПУ РАН. 2002. 207 С.: Ил.

Автоматизация полиномиального синтеза линейных систем

Толочко О.И., Розкаряка П.И.
Донецкий государственный технический университет, г. Донецк, Украина

Одним из современных направлений синтеза линейных стационарных систем является выбор параметров регуляторов из условия обеспечения желаемого распределения их полюсов и (реже) нулей, или, что одно и то же, желаемых коэффициентов характеристического полинома и полинома воздействия. При этом широко используются так называемые стандартные формы полиномов. В системе MATLAB (Signal Processing Toolbox) содержатся функции синтеза классических цифровых и аналоговых низкочастотных IIR-фильтров (IIR – Infinite Impulse Response) с крутым фронтом изменения АЧХ в области среднегеометрического полюса (brick wall) [1]. К ним относятся фильтры Бесселя, Баттерворта, Чебышева первого и второго рода и эллиптический фильтр (функции besself, butter, cheb1, cheb2, ellip, besselap, buttap, cheb1ap, cheb2ap, ellipap). При синтезе систем автоматического управления (САУ) проектировщик чаще всего должен обеспечить протекание переходных процессов с малым перерегулированием s и колебательностью. Этим требованиям из перечисленных выше классических фильтров удовлетворяет только фильтр Бесселя и в меньшей степени фильтр Баттерворта.

Недостатком фильтра Баттерворта является увеличение перерегулирования и колебательности переходной функции при увеличении порядка характеристического полинома. Как известно [2], полюсы этого фильтра p_i, пронормированные по среднегеометрическому корню характеристического полинома W ₀, равномерно распределены по окружности единичного радиуса в левой половине комплексной плоскости. Причем угловое расстояние D j ₁ доминирующей пары полюсов от мнимой оси равно половине углового промежутка D j между соседними полюсами. С увеличением порядка фильтра эти углы уменьшаются, что и является причиной описанного выше явления.

В [3] предложена методика синтеза характеристического полинома, у которого полюсы, как и у полинома Баттерворта равномерно распределены по окружности, но угол D j ₁ выбирается из условия обеспечения желаемого перерегулирования s _Ж переходной функции.

Для автоматизации синтеза такого полинома авторами разработана MATLAB-функция [a, p] = sig_z(n, sz, w, tol) с двумя обязательными параметрами: порядок полинома n и желаемое перерегулирование в процентах sz. Среднегеометрический корень w по умолчанию принимается равным 1, а заданная точность tol – 10^-3. Выходными параметрами являются коэффициенты a и полюсы p синтезируемого полинома.

Для поиска угла D j ₁, обеспечивающего в идеале нулевое значение функции s _Ж-s (D j ₁), в программе использован метод хорд. В качестве начальных приближений искомой переменной выбраны крайние из ее возможных значений: D j _1a=p /2, D j _1b=p .

Функция sig_z обеспечивает хорошую сходимость для 2% s _Ж 10% и 2 n 8. Решение можно найти и для перерегулирования, превышающего 10%, однако переходная функция в этом случае становится излишне колебательной.

Аналогичная программа разработана и для конструирования передаточной функции при наличии в ней не только полюсов, но и нулей.

Литература

1. Потемкин В.Г., Рудаков П.И. Система MATLAB 5 для студентов. 2-е изд. М.: ДИАЛОГ-МИФИ. 1999. 448 с.
2. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.
3. Толочко О.И., Коцегуб П.Х., Розкаряка П.И. Конструирование передаточных функций линейных САУ по заданному перерегулированию //Вісник Національного технічного університету ХПІ. Тематичний випуск 10. Харків: НТУ, 2001. С.95-98.