Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (28-29 мая 2002 г.). М.: ИПУ РАН. 2002. 207 С.: Ил.

Применение системы MATLAB к решению краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка

Амосов А.А.,
Жаворонок С.И.
Московский государственный строительный университет,
Московский авиационный институт (государственный технический университет), г. Москва

При решении различных задач математической физики, в частности, двух- или трехмерных линейных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных на основе редукционного подхода [1], возникает необходимость численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка (20-500 уравнений) вида:

,

с краевыми условиями

,

относительно неизвестной вектор-функции y(x₁). Как правило, решения таких систем могут содержать быстро изменяющиеся компоненты. Наиболее широко распространенный и универсальный метод решения таких задач – метод дискретной ортогонализации (метод С.К. Годунова [2]) .

Программирование вычислений в рамках метода дискретной ортогонализации наиболее эффективно при использовании основных отличительных свойств языка MATLAB [3]:

• векторизации циклов, т.е. замены циклических вычислений матричными операциями при учете необходимого для хранения матриц объема памяти;
• широком применении встроенных функций системы, в первую очередь функций линейной алгебры;
• предварительном вычислении правых частей уравнений и использовании глобальных переменных;
• использовании логических операторов для замены циклических операций.

Названные особенности рассматриваются на примере решения осесимметричной задачи для толстостенной композитной оболочки вращения, приводимой к системе одномерных краевых задач редукционным методом Амосова А.А. [4], [5].

Литература

1. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.
2. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. //Успехи математических наук, 1961. Т.16. Вып. 3/99. С.171-174.
3. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.х (в 2-х томах). М.: Диалог-МИФИ, 1999.
4. Амосов А.А. Основные уравнения трехмерной теории упругих нетонких пластин и оболочек. М.: Деп. ВНИИС Госстроя СССР 9.11.1988. № 9722, 1988. 18 с.
5. Амосов А.А, Князев А.А, Жаворонок С.И. О решении некоторых краевых задач о плоском напряженном состоянии криволинейной трапеции //Механика композиционных материалов и конструкций, 1999. № 1. С. 60-72.