|
В начало
1. Уравнения, допускающие понижение порядка
Теоретическая справка
Уравнения вида
 (1.1)
решается путем n – кратного интегрирования.
Уравнение
 , (1.2)
не содержащее искомой функции y, подстановкой
 , (1.3)
где - низшая из производных, сводится к уравнению
 , (1.4)
порядок которого равен  .
Уравнение
 , (1.5)
не содержащее независимой переменной  , также допускает понижение порядка с помощью подстановки
Пример1.1
Решить уравнение  .
Решение (аналитическое)
В левой части этого уравнения стоит третья производная искомой функции, в правой – функция только от , это уравнение вида (1.1).
Т.к.  , то  ,  , откуда
 .
Поскольку  , то последнее уравнение можно переписать так:
 ,  , откуда
 или
 .
Интегрируя еще раз, находим общее решение исходного уравнения
 .
Решение в среде MATLAB.
(Синтаксис команд MATLAB будет приведен ниже.)
1.Решим уравнение аналитически
>> dsolve('D3y=t*2')
ans =
1/12*t^4+1/2*C1*t^2+C2*t+C3.
Как видно, ответ совпадает с точностью до названия переменной.
2.Решим уравнение численно и построим его график.
Для этого необходимо составить задачу Коши (т.е. задать начальные условия),
а также интервал интегрирования и построения графика.
- Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:
- Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения.
>> tspan=[0 20];
>> y0=[1 1 1];
>> [t,y]=ode45('ex11',tspan,y0);
>> plot(t,y)
Пример 1.2
Решить уравнение  .
Решим уравнение аналитически
Это уравнение вида (1.2) , для которого  ,  .
Принимая низшую производную  за новую неизвестную функцию  , осуществим подстановку (1.3):
 ,
откуда  . Т.о., данное уравнение сводится к уравнению первого порядка относительно :
 или  ,
из которого получаем
 ,
в котором правая часть зависит только от  , т.е. уравнение вида(1.1).
Трижды интегрируя, получаем соответственно:
 ;
 ;
 ;
или
 ,
где
 ,  .
Решение в среде MATLAB
1.Решим уравнение аналитически
>> dsolve('D4y*t+D3y=0')
ans =
C1+C2*t+C3*t^2+C4*t^2*log(t)
2.Решим уравнение численно и построим его график.
Для этого необходимо составить задачу Коши (т.е. задать начальные условия),
а также интервал интегрирования и построения графика.
Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:
Для избежания деления на 0 и “зацикливания” программы, добавляем к t малую величину 0,0000001, не влияющую, в общем, на численное решение.
Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения.
>> y0=[1 1 1 1];
>> tspan=[0 20];
>> [T,Y]=ode45('ex12',tspan,y0);
>> plot(T,Y(:,1))
>>
Пример 1.3
Решить уравнение 
Решим уравнение аналитически
Это уравнение вида (1.5). Положим  , тогда , поэтому уравнение имеет вид
 ,  .
Разделяя переменные (в предположении, что  ) и интегрируя, получим
 ,  .
Так как
 , то  ,
откуда
 ;  ;
 . (А)
Замечание. Если  , т.е.  , то  ,  ,  . Это решение получается из формулы (А) при  .
Решение в среде MATLAB
1.Решим уравнение аналитически
>> dsolve('D4y=2*D3y')
ans =
C1+C2*t+C3*t^2+C4*exp(2*t)
2.Решим уравнение численно и построим его график.
Для этого необходимо составить задачу Коши (т.е. задать начальные условия),
а также интервал интегрирования и построения графика.
Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:
>> y0=[1 1 1 1];
>> tspan=[0 20];
>> [T,Y]=ode45('ex13',tspan,y0);
>> plot(T,Y(:,1))
В начало
|
