Архив работы (69 кб, mcd)

В данном разделе мы узнаем, каким образом в системе Mathcad решаются простейшие уравнения вида F(x)=0. Решить уравнение аналитически - значит найти все его корни, т.е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Графически - значит найти точки пересечения графика функции с осью OX. Для решения уравнений такого типа существует специальная функция:

Root(Выражение, Имя переменной)>

Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение равно 0. Функция реализует вычисления итерационным методом. Данный метод заключается в постепенном приближении к искомому корню с некоторой точностью от начального значения переменной.

Задача решения уравнения в системе Mathcad разбивается на два основных этапа:
1) отделение корней и нахождение начального значения,
2) непосредственное решение уравнения с помощью функции root.

Рассмотрим на примере 1 выполнение этих этапов.

Пример 1

1-й этап:

	Задание функции F(x)
	Второй способ задания функции через разбиение ее на две части

Построим график исходной функции. Подберем масштаб для наилучшего визуального наблюдения точек пересечения графика с осью OX.

Построив график функции F(x), мы убедились, что точки пересечения графика с осью OX приблизительно равны 0 и 1.2
Аналогично, преобразовав уравнение F(x) к виду f(x)=g(x) и построив два графика, найдем на плоскости точки их пересечения.

Абсциссы этих точек также приблизительно равны 0 и 1.2
Найдем далее непосредственное решение уравнения с помощью функции root, т.е. реализуем второй этап.

2-й этап:

	Начальное приближение для первого корня
	Нахождение первого корня
	Вывод значения

Аналогично для второго корня :

	Начальное приближение для второго корня
	Нахождение второго корня
	Вывод значения

Реализуя второй этап, мы получили те же корни, что и при графическом способе.
Целесообразно после нахождения корней делать проверку путем простой их подстановки в исходное равенство

Проверка

Анологично решению примера1, решите самостоятельно пример2.

Пример2:

2.Решение систем уравнений.

Векторные и матричные операторы и функции системы Mathcad позволяют решать широкий круг задач линейной алгебры. Рассмотрим задачу решения системы из n линейных уравнений матричным способом.

Способ 1(матричный):

Пусть нам дана система уравнений:

Решить систему - значит найти такие числа, при подстановке которых в данную систему получим все n верных равенств. Для этого сначала составляем матрицу A, состоящую из коэффициентов при переменных (размерность nn ) и матриц свободных членов уравнений (размерность n1). Перепишем и исходную систему в матричном виде: Вектор решения можно получить из следующего выражения: .Остается только сделать проверку простой подстановкой корней в уравнения, чтобы убедиться в правильности решения задачи. Рассмотрим задание матриц и операции над ними.

Для того ,чтобы задать матрицу щелкаем мышью ВИД, затем ПАНЕЛИ ИНСТРУМЕНТОВ, далее МАТЕМАТИКА. Появляется панель МАТЕМАТИКА с различными шаблонами. Щелкаем на шаблоне матрицы и появляется панель МАТРИЦЫ с математическими операциями над ними. При помощи мыши выбираем нужную операцию.Рассмотрим примеры:

Пример 3 : Умножить две матрицы.

	Задаем матрицы A и B нужного размера
	Находим на панели шаблон скалярного произведения

Пример 4 : Найти обратную матрицу.

	Задаем матрицу A
	Матрице В присваиваем обратное значение матрицы А (находим на панели шаблон инверсии )
	Находим матрицу B

Пример для самостоятельного решения.

Пример 5 : Умножить две матрицы и найти обратную для первой матрицы

Используя примеры 3-4, решим систему уравнений матричным способом.

Пример 6 :
	Присвоение переменной А матрицы,состоящей из коэффициентов при переменных в системе
	Присвоение переменной В матрицы, состоящей из столбца свободных членов системы
	Матричное решение X , выраженное в матричном виде
	Корни системы
	Проверка

Способ 2 ( использование функции lsolve(A,B) ):

В системе Mathcad введена встроенная функция lsolve (A,B), которая возвращает вектор X для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В. На следующем примере видна реализация вышеприведенных методов в системе Mathcad для системы из трех уравнений.

	Матрица коэффициентов системы линейных уравнений
	Вектор свободных членов
	Решение системы
	Решение с применением функции lsolve
	Результат решения
	Проверка

Способ 3 ( использование двух функций Given и Find):

Заключается в использовании двух функций системы: Given и Find. Преимущество данного метода заключается в том, что система уравнений вводится в Mathcad без использования матриц, т. е. в "натуральном" виде. Предварительно необходимо только указать начальные значения неизвестных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. (Часто за них принимают столбец свободных членов).

Рассмотрим пример:

	Задаем начальные значения неизвестных
	Знак равенства между выражениями в уравнениях вызывается с клавиатуры клавишами "CTRL" + "=", или с математической панели БУЛЕВО

Решите самостоятельно пример 7 тремя способами.

Пример 7:

3. Решение дифференциальных уравнений.

Система Mathcad имеет специальную встроенную функцию для решения дифференциальных уравнений. Ее вид :

Odesolve ( x , b [ , steps ] )

Для решения задачи Коши необходимы так называемые начальные условия и указание конца интервала. Эти данные вместе с самим уравнением записываются в блок функции Given и лишь затем применяется сама функция odesolve. Функция имеет ряд особенностей. Если указано число шагов step, то решение выполняется с фиксированным шагом, иначе - адаптивным методом. Ниже приведен пример решения дифференциального уравнения с помощью функции odesolve.

	Задано дифференциальное уравнение
	Заданы начальные условия
	Задано решение дифференциального уравнения
	Вычисление производной от b(a)
	График решения заданного дифференциального уравнения b(a) и производной от функции решения - c(a)

Пример для самостоятельного решения.

Пример 8 :

Решить дифференциальное уравнение второго порядка (задача Каши) с заданными начальными условиями. Результат вывести в виде графиков функции и ее первой производной.